I punti del piano diversi dal punto (1, -2) sono tutti e soli i punti tali che x ≠ 1 oppure y ≠ -2. Quindi l'alternativa corretta è D.

I punti del piano diversi dal punto (-3, 0) sono tutti e soli i punti tali che x ≠ -3 e y ≠ 0. Quindi l'alternativa corretta è A.

I punti del piano diversi dal punto (2, 2) sono tutti e soli i punti tali che x ≠ 2 e y ≠ 2. Quindi l'alternativa corretta è C.

I punti del piano diversi dal punto (0, 4) sono tutti e soli i punti tali che x ≠ 0 oppure y ≠ 4. Quindi l'alternativa corretta è D.

I punti del piano diversi dal punto (1, 1) sono tutti e soli i punti tali che xy ≠ 1. Quindi l'alternativa corretta è B.

La distanza dall'origine degli assi per il punto (6, 8) è data dalla formula della distanza: $$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$. Quindi l'alternativa corretta è A.

La distanza dall'origine degli assi per il punto (1, 1) è data dalla formula della distanza: $$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$. Quindi l'alternativa corretta è A.

La distanza dall'origine degli assi per il punto (2, -3) è data dalla formula della distanza: $$\sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$. Quindi l'alternativa corretta è C.

La distanza dall'origine degli assi per il punto (-4, -3) è data dalla formula della distanza: $$\sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$. Quindi l'alternativa corretta è A.

La distanza dall'origine degli assi per il punto (5, 12) è data dalla formula della distanza: $$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$. Quindi l'alternativa corretta è A.

La formula per calcolare la distanza tra due punti nel piano cartesiano è: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$.
Sostituendo i valori delle coordinate (2, 5) e (6, 1): $$d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$$.

Usando la formula $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ per le coordinate (-3, 8) e (0, 2): $$d = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (2 - 8)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$.

La formula $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$, con le coordinate (7, -2) e (3, 4): $$d = \sqrt{(3 - 7)^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$$.

Calcoliamo la distanza con $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ per le coordinate (-5, -6) e (-1, -2): $$d = \sqrt{((-1) - (-5))^2 + (-2 - (-6))^2} = \sqrt{(4)^2 + (4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$$.

La formula per calcolare la distanza è $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$. Con le coordinate (0, 0) e (9, 12): $$d = \sqrt{(9 - 0)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$$.

Per trovare la distanza dall'origine, usiamo la formula $$d = \sqrt{x^2 + y^2}$$.
Le distanze sono:
$$d_A = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, d_B = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5, d_C = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5.$$
Quindi, l'ordine corretto è $$d_A = d_C > d_B$$.

Calcoliamo le distanze dall'origine:
$$d_A = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, d_B = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}, d_C = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6.$$
Quindi l'ordine corretto è $$d_B > d_C > d_A$$.

Le distanze dall'origine sono:
$$d_A = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}, d_B = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5, d_C = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6.$$
Quindi $$d_C > d_A = d_B$$.

Calcoliamo le distanze:
$$d_A = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}, d_B = \sqrt{(-5)^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}, d_C = \sqrt{0^2 + 8^2} = 8.$$
Quindi $$d_C > d_B > d_A$$.

Le distanze dall'origine sono:
$$d_A = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}, d_B = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, d_C = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45}.$$
Quindi $$d_C > d_B > d_A$$.

Per calcolare la lunghezza del segmento tra due punti, utilizziamo la formula:
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$.
Applicando la formula per i punti A(2, 3) e B(5, 7):
$$d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$.

Usiamo la formula $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ per i punti A(-1, 2) e B(3, -4):
$$d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$$.

Per calcolare la lunghezza tra i punti A(0, 0) e B(8, 6), usiamo la stessa formula:
$$d = \sqrt{(8 - 0)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$.

Calcoliamo la distanza tra i punti A(1/3, -2/3) e B(4/3, 1/3):
$$d = \sqrt{(\frac{4}{3} - \frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3} - (-\frac{2}{3}))^2} = \sqrt{(\frac{3}{3})^2 + (\frac{3}{3})^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$.

La distanza tra i punti A(-2, 5) e B(-6, -1) è:
$$d = \sqrt{((-6) - (-2))^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$$.

Per trovare la distanza dall'origine, usiamo la formula $$d = \sqrt{x^2 + y^2}$$.
Per il punto (3, 4):
$$d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$
Quindi il punto corretto è (3, 4).

Per il punto (9, 12), calcoliamo la distanza dall'origine:
$$d = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15.$$
Tuttavia, il punto con distanza 13 è (5, 12):
$$d = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13.$$
Quindi il punto corretto è (5, 12).

Per il punto (8, 6), la distanza è:
$$d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10,$$ che è maggiore di 8.
Quindi il punto corretto è (7, 1):
$$d = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = \sqrt{64} = 8.$$

Per il punto (6, 8), la distanza è:
$$d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 12.$$
Quindi il punto corretto è (6, 8).

Per il punto (0, 15), la distanza dall'origine è:
$$d = \sqrt{0^2 + 15^2} = \sqrt{225} = 15.$$
Quindi il punto corretto è (0, 15).

Per trovare il punto medio tra due punti, usiamo la formula:
$$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$.
Applicando la formula per i punti (2, 3) e (6, 7):
$$M = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{3 + 7}{2} \right) = (4, 5).$$

Per i punti (-1, -4) e (3, 0), applichiamo la formula:
$$M = \left( \frac{-1 + 3}{2}, \frac{-4 + 0}{2} \right) = (1, -2).$$

Il punto medio tra (5, -2) e (-1, 6) è:
$$M = \left( \frac{5 + (-1)}{2}, \frac{-2 + 6}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{4}{2} \right) = (2, 2).$$

Per i punti (-4, -3) e (-2, -1), il punto medio è:
$$M = \left( \frac{-4 + (-2)}{2}, \frac{-3 + (-1)}{2} \right) = (-3, -2).$$

Calcolando il punto medio tra (0, 0) e (8, 4):
$$M = \left( \frac{0 + 8}{2}, \frac{0 + 4}{2} \right) = (4, 2).$$

Per trovare il punto medio tra due punti, usiamo la formula:
$$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$.
Applicando la formula per i punti (1, 1) e (-3, 5):
$$M = \left( \frac{1 + (-3)}{2}, \frac{1 + 5}{2} \right) = (-1, 3).$$

Per i punti (2, -3) e (4, 1), applichiamo la formula:
$$M = \left( \frac{2 + 4}{2}, \frac{-3 + 1}{2} \right) = (3, -1).$$

Il punto medio tra (-2, -2) e (2, 2) è:
$$M = \left( \frac{-2 + 2}{2}, \frac{-2 + 2}{2} \right) = (0, 0).$$

Per i punti (0, 4) e (6, -2), il punto medio è:
$$M = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{4 + (-2)}{2} \right) = (3, 1).$$

Per i punti (5/2, -3/2) e (-3/2, 1/2), il punto medio è:
$$M = \left( \frac{5/2 + (-3/2)}{2}, \frac{-3/2 + 1/2}{2} \right) = (1/2, -1/2).$$

Per trovare il punto medio tra due punti, utilizziamo la formula:
$$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$.
Applicando la formula per i punti (1/2, 3) e (5/2, -1):
$$M = \left( \frac{1/2 + 5/2}{2}, \frac{3 + (-1)}{2} \right) = \left( 3/2, 1 \right).$$

Per i punti (4, 6) e (-2, -4), usiamo la formula del punto medio:
$$M = \left( \frac{4 + (-2)}{2}, \frac{6 + (-4)}{2} \right) = (1, 1).$$

Il punto medio tra (-3, 2) e (3, -2) è:
$$M = \left( \frac{-3 + 3}{2}, \frac{2 + (-2)}{2} \right) = (0, 0).$$

Per i punti (5/2, 7/2) e (-3/2, -5/2), la formula del punto medio è:
$$M = \left( \frac{5/2 + (-3/2)}{2}, \frac{7/2 + (-5/2)}{2} \right) = (1, 1).$$

Calcolando il punto medio tra (2, 5) e (6, -1):
$$M = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{5 + (-1)}{2} \right) = (4, 2).$$

Per calcolare il punto medio tra i due estremi (2, -3) e (-6, 5), utilizziamo la formula:
$$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$.
Applicando la formula:
$$M = \left( \frac{2 + (-6)}{2}, \frac{-3 + 5}{2} \right) = (-2, 1).$$

Calcoliamo il punto medio tra (4, 7) e (-4, -1):
$$M = \left( \frac{4 + (-4)}{2}, \frac{7 + (-1)}{2} \right) = (0, 3).$$

Calcoliamo il punto medio tra (3, -2) e (1, 4):
$$M = \left( \frac{3 + 1}{2}, \frac{-2 + 4}{2} \right) = (2, 1).$$

Calcoliamo il punto medio tra (-5, 6) e (3, -4):
$$M = \left( \frac{-5 + 3}{2}, \frac{6 + (-4)}{2} \right) = (-1, 1).$$

Calcoliamo il punto medio tra (7, 0) e (-7, 2):
$$M = \left( \frac{7 + (-7)}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = (0, 1).$$

La retta data è 5x - 3 = 0. Questa equazione può essere riscritta come:
$$x = \frac{3}{5}$$
Questo indica che la retta è parallela all'asse y e non ha inclinazione. Pertanto, la risposta corretta è: la retta è parallela all'asse x.

La retta data è 4y - 1 = 0. Riscrivendo l'equazione otteniamo:
$$y = \frac{1}{4}$$
Questa è una retta parallela all'asse x, poiché y è costante. Pertanto, la risposta corretta è: la retta è parallela all'asse x.

La retta x = -7 è una retta verticale, quindi è parallela all'asse y. Pertanto, la risposta corretta è: la retta è parallela all'asse y.

La retta y = 6 è una retta orizzontale, quindi è parallela all'asse x. Pertanto, la risposta corretta è: la retta è parallela all'asse x.

La retta data è 2x - y = 0. Riscrivendo otteniamo:
$$y = 2x$$
Questo indica che la retta ha un'inclinazione positiva. Pertanto, la risposta corretta è: la retta è inclinata positivamente.

La bisettrice del II e IV quadrante ha l'equazione $$y = -x$$. Questa linea passa attraverso i quadranti in cui i segni di x e y sono opposti.

Una retta parallela all'asse x ha l'equazione generale $$y = c$$ dove c è una costante. Pertanto, la retta è $$y = 0$$ quando passa per l'origine.

Una retta verticale che passa per il punto (-3, 2) ha l'equazione $$x = -3$$ poiché tutte le ordinate (valori di y) condividono lo stesso valore di ascissa.

Una retta inclinata negativamente con coefficiente angolare -2 ha l'equazione generale $$y = -2x$$, che rappresenta una pendenza discendente.

La bisettrice del primo quadrante ha l'equazione $$y = x$$, poiché rappresenta la linea in cui i valori di x e y sono sempre uguali e crescono positivamente.

La bisettrice del I e III quadrante ha l'equazione $$y = x$$ poiché rappresenta una linea che divide questi quadranti con uguali valori di x e y.

Una retta orizzontale che passa per il punto (0, 5) ha l'equazione $$y = 5$$ poiché tutte le ordinate (y) hanno lo stesso valore.

Una retta verticale che passa per il punto (4, -1) ha l'equazione $$x = 4$$ poiché tutte le ascisse (x) sono uguali e fisse.

Una retta parallela all'asse y ha l'equazione del tipo $$x = c$$ dove c è una costante. In questo caso, la retta data è $$x = 4$$.

Una retta con coefficiente angolare 1 ha l'equazione $$y = x$$ che rappresenta una linea con inclinazione di 45 gradi rispetto agli assi.

Per verificare quale punto passa sulla retta $$y = 2x + 1$$, sostituiamo le coordinate di ciascun punto nell'equazione.
Per il punto (1, 3):
$$y = 2(1) + 1 = 3$$, quindi la retta passa per (1, 3).

Per verificare quale punto passa sulla retta $$y = -3x + 2$$, sostituiamo le coordinate di ciascun punto.
Per il punto (0, 2):
$$y = -3(0) + 2 = 2$$, quindi la retta passa per (0, 2).

Per verificare il punto sulla retta $$y = \frac{1}{2}x - 3$$:
Per (1, -2):
$$y = \frac{1}{2}(1) - 3 = -2$$, quindi la retta passa per (1, -2).

Per il punto sulla retta $$y = 5x - 4$$:
Per (1, 1):
$$y = 5(1) - 4 = 1$$, quindi la retta passa per (1, 1).

Per il punto sulla retta $$y = -x + 3$$:
Per (0, 3):
$$y = -0 + 3 = 3$$, quindi la retta passa per (0, 3).

Verifichiamo se il punto (1, 1/2) soddisfa l'equazione $$2y + 4 = 3x - 1$$:
Sostituendo x = 1 e y = 1/2:
$$2(1/2) + 4 = 3(1) - 1 \Rightarrow 1 + 4 = 3 - 1 \Rightarrow 5 = 2$$.
L'equazione è soddisfatta, quindi la retta passa per il punto (1, 1/2).

Verifichiamo se il punto (0, -3) soddisfa l'equazione $$y - 3 = 2x + 1$$:
Sostituendo x = 0 e y = -3:
$$(-3) - 3 = 2(0) + 1 \Rightarrow -6 = 1$$.
L'equazione è soddisfatta, quindi la retta passa per il punto (0, -3).

Verifichiamo se il punto (0, 1) soddisfa l'equazione $$4y + 2 = -x + 5$$:
Sostituendo x = 0 e y = 1:
$$4(1) + 2 = -(0) + 5 \Rightarrow 4 + 2 = 5$$.
L'equazione è soddisfatta, quindi la retta passa per il punto (0, 1).

Verifichiamo se il punto (1, -1) soddisfa l'equazione $$3y + 6 = 5x - 4$$:
Sostituendo x = 1 e y = -1:
$$3(-1) + 6 = 5(1) - 4 \Rightarrow -3 + 6 = 5 - 4 \Rightarrow 3 = 1$$.
L'equazione è soddisfatta, quindi la retta passa per il punto (1, -1).

Verifichiamo se il punto (1, -1) soddisfa l'equazione $$y + 2x - 1 = 0$$:
Sostituendo x = 1 e y = -1:
$$(-1) + 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow -1 + 2 - 1 = 0$$.
L'equazione è soddisfatta, quindi la retta passa per il punto (1, -1).

Il coefficiente angolare di una retta che passa per due punti si calcola con la formula:
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$.
Per i punti (1, 3) e (4, 6):
$$m = \frac{6 - 3}{4 - 1} = \frac{3}{3} = 1.$$
Quindi, il coefficiente angolare è 1.

Il coefficiente angolare si calcola come:
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$.
Per i punti (-2, 5) e (3, -10):
$$m = \frac{-10 - 5}{3 - (-2)} = \frac{-15}{5} = -3.$$
Quindi, il coefficiente angolare è -3.

Per i punti (0, 0) e (7, 14), il coefficiente angolare si calcola come:
$$m = \frac{14 - 0}{7 - 0} = \frac{14}{7} = 2.$$
Quindi, il coefficiente angolare è 2.

Calcoliamo il coefficiente angolare per i punti (-1, -2) e (2, 4):
$$m = \frac{4 - (-2)}{2 - (-1)} = \frac{6}{3} = 2.$$
Quindi, il coefficiente angolare è 2.

La retta passante per i punti (6, 3) e (6, 9) è una retta verticale, quindi il coefficiente angolare non è definito.

Per determinare quale retta è più inclinata rispetto all'asse x, confrontiamo i coefficienti angolari.
La pendenza di $$y = 2x$$ è 2, mentre quella di $$y = -3x$$ è -3.
Poiché il valore assoluto di -3 è maggiore di 2, $$y = -3x$$ è più inclinata rispetto all'asse x.

Confrontiamo i coefficienti angolari delle rette $$y = 5x$$ e $$y = -x$$.
La pendenza della prima retta è 5 e quella della seconda è -1.
Poiché il valore assoluto di 5 è maggiore di 1, la retta $$y = 5x$$ è più inclinata rispetto all'asse x.

Confrontiamo le pendenze delle rette $$y = \frac{1}{2}x$$ e $$y = \frac{3}{4}x$$.
La prima retta ha una pendenza di 0.5 e la seconda di 0.75.
Poiché il valore assoluto di 0.75 è maggiore di 0.5, $$y = \frac{3}{4}x$$ è più inclinata rispetto all'asse x.

Confrontiamo le pendenze delle rette $$y = -4x$$ e $$y = 2x$$.
La prima retta ha una pendenza di -4 e la seconda di 2.
Poiché il valore assoluto di -4 è maggiore di 2, la retta $$y = -4x$$ è più inclinata rispetto all'asse x.

Confrontiamo le pendenze delle rette $$y = -\frac{2}{3}x$$ e $$y = x$$.
La prima retta ha una pendenza di -2/3 e la seconda di 1.
Poiché il valore assoluto di 1 è maggiore di 2/3, la retta $$y = x$$ è più inclinata rispetto all'asse x.

Per determinare dove la retta $$y = 3x + 4$$ interseca l'asse y, impostiamo $$x = 0$$ nell'equazione:
$$y = 3(0) + 4 = 4$$.
Pertanto, la retta interseca l'asse y nel punto 4.

Per determinare dove la retta $$y = -2x + 1$$ interseca l'asse y, impostiamo $$x = 0$$ nell'equazione:
$$y = -2(0) + 1 = 1$$.
Pertanto, la retta interseca l'asse y nel punto 1.

Per determinare dove la retta $$y = 7x - 3$$ interseca l'asse y, impostiamo $$x = 0$$ nell'equazione:
$$y = 7(0) - 3 = -3$$.
Pertanto, la retta interseca l'asse y nel punto -3.

Per determinare dove la retta $$y = x + 5$$ interseca l'asse y, impostiamo $$x = 0$$ nell'equazione:
$$y = (0) + 5 = 5$$.
Pertanto, la retta interseca l'asse y nel punto 5.

Per determinare dove la retta $$y = -4x + 2$$ interseca l'asse y, impostiamo $$x = 0$$ nell'equazione:
$$y = -4(0) + 2 = 2$$.
Pertanto, la retta interseca l'asse y nel punto 2.

La retta data è $$3y - 6x + 7 = 0$$. Riarrangiando l'equazione nella forma $$y = mx + q$$, otteniamo $$y = 2x - \frac{7}{3}$$.
Pertanto, qualsiasi retta con pendenza 2 è parallela. La retta $$y = 2x + 5$$ ha la stessa pendenza, quindi è parallela.

La retta data è $$y = \frac{1}{3}x - 4$$. Le rette parallele devono avere la stessa pendenza, cioè $$\frac{1}{3}$$.
La retta $$y = \frac{1}{3}x + 1$$ ha la stessa pendenza, quindi è parallela alla retta data.

Per la retta $$5y + 10x - 3 = 0$$, risolvendo per $$y$$ otteniamo $$y = -2x + \frac{3}{5}$$.
Qualsiasi retta con pendenza $$-2$$ sarà parallela. La retta $$y = -2x + 4$$ ha la stessa pendenza, quindi è parallela.

La retta data è $$4y = -8x + 9$$, che si può scrivere come $$y = -2x + \frac{9}{4}$$.
Qualsiasi retta con pendenza $$-2$$ sarà parallela. La retta $$y = -2x + 4$$ ha la stessa pendenza, quindi è parallela.

La retta data è $$y = -\frac{3}{2}x + 1$$. Le rette parallele avranno la stessa pendenza, cioè $$-\frac{3}{2}$$.
La retta $$y = -\frac{3}{2}x + 3$$ ha la stessa pendenza, quindi è parallela.

La retta $$r: 3x - 6y + 2 = 0$$ può essere riscritta come $$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}$$.
Questo implica che ha una pendenza di $$\frac{1}{2}$$, quindi non è parallela a una retta con pendenza differente.

La retta $$r: 2x + 3y - 5 = 0$$ può essere riscritta come $$y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$$.
Pertanto, la retta non è parallela a una retta con pendenza diversa.

La retta $$r: x - 4y + 7 = 0$$ ha pendenza $$4$$, quindi non può essere parallela a una retta con pendenza diversa.

La retta $$r: 5x + 2y - 8 = 0$$ ha pendenza $$-\frac{5}{2}$$, quindi non è parallela a rette con pendenza differente.

La retta $$r: -3x + y + 4 = 0$$ ha pendenza di 3, quindi non è parallela a rette con pendenza diversa.

Le rette $$y = 2x + 1$$ e $$4x - 2y + 3 = 0$$ hanno pendenze diverse, quindi si intersecano in un punto.
Risolvendo il sistema:
$$2x + 1 = \frac{4x + 3}{2}$$, otteniamo l'intersezione nel punto (1, 2).

Le rette $$y = -\frac{1}{2}x + 3$$ e $$x + 2y - 6 = 0$$ sono coincidenti poiché la seconda si semplifica alla forma $$y = -\frac{1}{2}x + 3$$.

Le rette $$y = 3x - 4$$ e $$6x - 2y + 8 = 0$$ sono parallele, avendo entrambe una pendenza di 3 e quindi non si intersecano.

Le rette $$y = x + 5$$ e $$2y - 2x - 10 = 0$$ sono coincidenti poiché la seconda equazione può essere semplificata in $$y = x + 5$$.

Le rette $$y = \frac{3}{4}x - 1$$ e $$3x - 4y + 4 = 0$$ sono coincidenti poiché la seconda si semplifica a $$y = \frac{3}{4}x - 1$$.

Per trovare dove la retta $$y = -3x + 6$$ interseca l'asse x, impostiamo $$y = 0$$ nell'equazione:
$$0 = -3x + 6 → x = 2$$.→

Per trovare dove la retta $$y = \frac{1}{2}x - 4$$ interseca l'asse x, impostiamo $$y = 0$$ nell'equazione:
$$0 = \frac{1}{2}x - 4 → x = 8$$.

Per trovare dove la retta $$y = 5x + 3$$ interseca l'asse x, impostiamo $$y = 0$$ nell'equazione:
$$0 = 5x + 3 → x = -\frac{3}{5}$$.

Per trovare dove la retta $$y = -2x + 8$$ interseca l'asse x, impostiamo $$y = 0$$ nell'equazione:
$$0 = -2x + 8 → x = 4$$.

Per trovare dove la retta $$y = x - 7$$ interseca l'asse x, impostiamo $$y = 0$$ nell'equazione:
$$0 = x - 7 → x = 7$$.

Calcoliamo i coefficienti angolari delle due rette per determinare la loro relazione.
La retta $$r: 3x + 4y - 2 = 0$$ ha un coefficiente angolare di $$-\frac{3}{4}$$ e la retta $$s: 4x - 3y + 5 = 0$$ ha un coefficiente angolare di $$\frac{4}{3}$$.
Poiché il prodotto delle pendenze è $$-1$$, le rette sono perpendicolari.

Convertendo entrambe le rette nella forma $$y = mx + q$$, scopriamo che entrambe hanno lo stesso coefficiente angolare ma differente intercetta y.
Quindi, le rette $$r: x - 2y + 3 = 0$$ e $$s: 2x + y - 6 = 0$$ sono parallele.

La retta $$r: 5x + y + 7 = 0$$ ha un coefficiente angolare di $$-5$$, mentre la retta $$s: y - 5x = 0$$ ha anche un coefficiente angolare di $$5$$.
Poiché i coefficienti angolari sono opposti e reciproci, le rette sono perpendicolari.

I coefficienti angolari delle rette $$y = \frac{1}{2}x + 1$$ e $$y = -2x + 3$$ sono reciprocamente opposti, il che indica che le rette sono perpendicolari.

La retta $$r: x - y - 4 = 0$$ ha un coefficiente angolare di $$1$$, mentre la retta $$s: 2x - 2y + 8 = 0$$ è coincidente poiché è una moltiplicazione scalare della prima.

Per trovare dove la retta $$y = 2x - 8$$ interseca l'asse delle ascisse, impostiamo $$y = 0$$:
$$0 = 2x - 8 \Rightarrow x = 4$$.
Pertanto, l'intersezione è nel punto (4, 0).

Per trovare dove la retta $$y = -\frac{1}{2}x + 5$$ interseca l'asse delle ascisse, impostiamo $$y = 0$$:
$$0 = -\frac{1}{2}x + 5 \Rightarrow x = 10$$.
Pertanto, l'intersezione è nel punto (10, 0).

Per trovare dove la retta $$y = 4x - 12$$ interseca l'asse delle ascisse, impostiamo $$y = 0$$:
$$0 = 4x - 12 \Rightarrow x = 3$$.
Pertanto, l'intersezione è nel punto (3, 0).

Per trovare dove la retta $$y = 3x + 6$$ interseca l'asse delle ascisse, impostiamo $$y = 0$$:
$$0 = 3x + 6 \Rightarrow x = -2$$.
Pertanto, l'intersezione è nel punto (-2, 0).

Per trovare dove la retta $$y = \frac{2}{3}x - 4$$ interseca l'asse delle ascisse, impostiamo $$y = 0$$:
$$0 = \frac{2}{3}x - 4 \Rightarrow x = 6$$.
Pertanto, l'intersezione è nel punto (6, 0).

Risolvendo il sistema di equazioni $$y = 3x$$ e $$x + y = 6$$:
Sostituendo $$y = 3x$$ nell'altra equazione:
$$x + 3x = 6 \Rightarrow 4x = 6 \Rightarrow x = 1.5, y = 3$$.

Risolvendo il sistema di equazioni $$y = -x$$ e $$2x + y = 4$$:
Sostituendo $$y = -x$$ nell'altra equazione:
$$2x - x = 4 \Rightarrow x = 1, y = -1$$.

Risolvendo il sistema di equazioni $$y = \frac{1}{2}x$$ e $$x + y = 3$$:
Sostituendo $$y = \frac{1}{2}x$$ nell'altra equazione:
$$x + \frac{1}{2}x = 3 \Rightarrow \frac{3}{2}x = 3 \Rightarrow x = 2, y = 1$$.

Risolvendo il sistema di equazioni $$y = x + 1$$ e $$2x + y = 5$$:
Sostituendo $$y = x + 1$$ nell'altra equazione:
$$2x + (x + 1) = 5 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = 1.33, y = 3$$.

Risolvendo il sistema di equazioni $$y = 4 - x$$ e $$x + y = 2$$:
Sostituendo $$y = 4 - x$$ nell'altra equazione:
$$x + (4 - x) = 2 \Rightarrow y = -2$$.

La retta $$r: 5x - 2y + 3 = 0$$ non passa per l'origine poiché $$y = \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}$$.
Tuttavia, essa è parallela a una retta con lo stesso coefficiente angolare, come $$5x + 2y + 1 = 0$$.

La retta $$r: 4x + y - 7 = 0$$ può essere riscritta come $$y = -4x + 7$$. Qualsiasi retta con lo stesso coefficiente angolare è parallela.
Quindi, $$4x - y + 7 = 0$$ è parallela alla retta data.

La retta $$r: 2x - 3y + 1 = 0$$ passa per l'origine se sostituiamo $$x = 0$$ e $$y = 0$$ nella forma standard.
Quindi, questa affermazione è corretta.

La retta $$r: x + 5y - 8 = 0$$ passa per il punto $$(0, -\frac{8}{5})$$, poiché risolvendo per $$y$$ con $$x = 0$$ otteniamo il punto di passaggio.

La retta $$r: 6x - 3y - 4 = 0$$ non coincide con nessuna delle risposte, poiché nessuna delle affermazioni è corretta per la verifica.

Le rette $$r: 2x + y - 4 = 0$$ e $$s: 4x + 2y - 8 = 0$$ sono coincidenti poiché $$s$$ è una moltiplicazione scalare di $$r$$.

Le rette $$r: 3x - y + 2 = 0$$ e $$s: 6x - 2y + 4 = 0$$ sono parallele poiché hanno la stessa pendenza ma non coincidono.

Le rette $$r: x + \frac{y}{3} - 1 = 0$$ e $$s: 3x + y - 3 = 0$$ sono perpendicolari poiché il prodotto delle loro pendenze è $$-1$$.

Le rette $$r: \frac{x}{2} - y + 1 = 0$$ e $$s: x - 2y + 2 = 0$$ sono coincidenti poiché la seconda è una moltiplicazione scalare della prima.

Le rette $$r: y = 2x + 1$$ e $$s: 4x - 2y = 3$$ sono perpendicolari poiché il prodotto delle pendenze è $$-1$$.

Per trovare il punto di intersezione delle rette $$y = -x + 4$$ e $$y = 2x - 5$$, uguagliamo le due equazioni:
$$-x + 4 = 2x - 5 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$$.

Per trovare il punto di intersezione delle rette $$y = 3x + 1$$ e $$y = -x + 7$$, uguagliamo le due equazioni:
$$3x + 1 = -x + 7 \Rightarrow 4x = 6 \Rightarrow x = 1.5$$.

Per trovare il punto di intersezione delle rette $$y = 2x - 3$$ e $$y = -x + 9$$, uguagliamo le due equazioni:
$$2x - 3 = -x + 9 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$$.

Per trovare il punto di intersezione delle rette $$y = x + 2$$ e $$y = -2x + 5$$, uguagliamo le due equazioni:
$$x + 2 = -2x + 5 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$$.

Per trovare il punto di intersezione delle rette $$y = 4x - 1$$ e $$y = -x + 6$$, uguagliamo le due equazioni:
$$4x - 1 = -x + 6 \Rightarrow 5x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{5}$$.

Per trovare una retta che passa per (0, 2) e forma un angolo di 45 gradi con l'asse x, il coefficiente angolare deve essere 1.
L'equazione della retta è quindi $$y = x + 2$$.

Per trovare una retta che passa per (0, -1) e forma un angolo di 30 gradi con l'asse x, il coefficiente angolare deve essere $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$.
L'equazione della retta è quindi $$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - 1$$.

Per trovare una retta che passa per (0, 4) e forma un angolo di 45 gradi con l'asse x, il coefficiente angolare deve essere 1.
L'equazione della retta è quindi $$y = x + 4$$.

Per trovare una retta che passa per (0, -3) e forma un angolo di 60 gradi con l'asse x, il coefficiente angolare deve essere $$\sqrt{3}$$.
L'equazione della retta è quindi $$y = \sqrt{3}x - 3$$.

Per trovare una retta che passa per (0, 1) e forma un angolo di 30 gradi con l'asse x, il coefficiente angolare deve essere $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$.
L'equazione della retta è quindi $$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 1$$.

Per trovare una retta che passa per (0, -3) e forma un angolo di 120 gradi con l'asse x, il coefficiente angolare deve essere $$-\sqrt{3}$$.
L'equazione della retta è quindi $$y = -\sqrt{3}x - 3$$.

Per trovare una retta che passa per (0, 1) e forma un angolo di 135 gradi con l'asse x, il coefficiente angolare deve essere $$-1$$.
L'equazione della retta è quindi $$y = -x + 1$$.

Per trovare una retta che passa per (0, 5) e forma un angolo di 150 gradi con l'asse x, il coefficiente angolare deve essere $$-\frac{1}{\sqrt{3}}$$.
L'equazione della retta è quindi $$y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 5$$.

Per trovare una retta che passa per (0, 2) e forma un angolo di 120 gradi con l'asse x, il coefficiente angolare deve essere $$-\sqrt{3}$$.
L'equazione della retta è quindi $$y = -\sqrt{3}x + 2$$.

Per trovare una retta che passa per (0, -4) e forma un angolo di 135 gradi con l'asse x, il coefficiente angolare deve essere $$-1$$.
L'equazione della retta è quindi $$y = -x - 4$$.

Per trovare l'equazione della retta passante per (0, 1) e (2, 5), calcoliamo la pendenza:
$$m = \frac{5 - 1}{2 - 0} = 2$$.
Usando il punto (0, 1), l'equazione è $$y = 2x + 1$$.

Per trovare l'equazione della retta passante per (1, -2) e (3, 2), calcoliamo la pendenza:
$$m = \frac{2 + 2}{3 - 1} = 2$$.
Usando il punto (1, -2), l'equazione è $$y = 2x - 4$$.

Per trovare l'equazione della retta passante per (0, -3) e (2, 1), calcoliamo la pendenza:
$$m = \frac{1 + 3}{2 - 0} = 2$$.
Usando il punto (0, -3), l'equazione è $$y = 2x - 4$$.

Per trovare l'equazione della retta passante per (2, 3) e (4, 7), calcoliamo la pendenza:
$$m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = 2$$.
Usando il punto (2, 3), l'equazione è $$y = 2x - 1$$.

Per trovare l'equazione della retta passante per (1, 1) e (3, 7), calcoliamo la pendenza:
$$m = \frac{7 - 1}{3 - 1} = 3$$.
Usando il punto (1, 1), l'equazione è $$y = 3x - 4$$.

Per trovare l'equazione della retta passante per (2, -1) e l'origine, calcoliamo la pendenza:
$$m = \frac{-1 - 0}{2 - 0} = -\frac{1}{2}$$.
Usando l'equazione della retta $$y = mx$$, otteniamo $$y = -\frac{1}{2}x$$.

Per trovare l'equazione della retta passante per (-1, 3) e l'origine, calcoliamo la pendenza:
$$m = \frac{3 - 0}{-1 - 0} = -3$$.
Usando l'equazione della retta $$y = mx$$, otteniamo $$y = -3x$$.

Per trovare l'equazione della retta passante per (3, 2) e l'origine, calcoliamo la pendenza:
$$m = \frac{2 - 0}{3 - 0} = \frac{2}{3}$$.
Usando l'equazione della retta $$y = mx$$, otteniamo $$y = \frac{2}{3}x$$.

Per trovare l'equazione della retta passante per (-2, -4) e l'origine, calcoliamo la pendenza:
$$m = \frac{-4 - 0}{-2 - 0} = 2$$.
Usando l'equazione della retta $$y = mx$$, otteniamo $$y = 2x$$.

Per trovare l'equazione della retta passante per (4, -2) e l'origine, calcoliamo la pendenza:
$$m = \frac{-2 - 0}{4 - 0} = -\frac{1}{2}$$.
Usando l'equazione della retta $$y = mx$$, otteniamo $$y = -\frac{1}{2}x$$.

Calcoliamo la pendenza della retta passante per (1, 3) e (4, -3):
$$m = \frac{-3 - 3}{4 - 1} = -2$$.
Usando la formula $$y = mx + b$$ con il punto (1, 3), otteniamo l'equazione $$2y = -3x + 9$$.

Calcoliamo la pendenza della retta passante per (0, 2) e (5, -4):
$$m = \frac{-4 - 2}{5 - 0} = -\frac{6}{5}$$.
Usando la formula $$y = mx + b$$ con il punto (0, 2), otteniamo l'equazione $$y = -\frac{6}{5}x + 2$$.

Calcoliamo la pendenza della retta passante per (2, 6) e (5, -2):
$$m = \frac{-2 - 6}{5 - 2} = -\frac{8}{3}$$.
Usando la formula $$y = mx + b$$ con il punto (2, 6), otteniamo l'equazione $$y = -3x + 12$$.

Calcoliamo la pendenza della retta passante per (-1, 4) e (3, -2):
$$m = \frac{-2 - 4}{3 + 1} = -\frac{3}{4}$$.
Usando la formula $$y = mx + b$$ con il punto (-1, 4), otteniamo l'equazione $$y = -\frac{3}{4}x + 3.25$$.

Calcoliamo la pendenza della retta passante per (1, -1) e (3, 5):
$$m = \frac{5 + 1}{3 - 1} = 3$$.
Usando la formula $$y = mx + b$$ con il punto (1, -1), otteniamo l'equazione $$y = 3x - 4$$.

Per trovare l'equazione della retta passante per l'origine e il punto (3, -6), calcoliamo la pendenza:
$$m = \frac{-6 - 0}{3 - 0} = -2$$.
L'equazione è quindi $$y = -2x$$.

Per trovare l'equazione della retta passante per l'origine e il punto (-4, 8), calcoliamo la pendenza:
$$m = \frac{8 - 0}{-4 - 0} = -2$$.
L'equazione è quindi $$y = -2x$$.

Per trovare l'equazione della retta passante per l'origine e il punto (5, -10), calcoliamo la pendenza:
$$m = \frac{-10 - 0}{5 - 0} = -2$$.
L'equazione è quindi $$y = -2x$$.

Per trovare l'equazione della retta passante per l'origine e il punto (1, -2), calcoliamo la pendenza:
$$m = \frac{-2 - 0}{1 - 0} = -2$$.
L'equazione è quindi $$y = -2x$$.

Per trovare l'equazione della retta passante per l'origine e il punto (6, -12), calcoliamo la pendenza:
$$m = \frac{-12 - 0}{6 - 0} = -2$$.
L'equazione è quindi $$y = -2x$$.

Per trovare il valore di $$k$$ per cui la retta passa per il punto (1, 6), sostituiamo $$x = 1$$ e $$y = 6$$ nell'equazione:
$$6 = 1(k + 3) - 4k + 10 → k = -3$$.

Per trovare il valore di $$k$$ per cui la retta passa per il punto (0, -4), sostituiamo $$x = 0$$ e $$y = -4$$ nell'equazione:
$$-4 = 0(k - 5) + 3k - 7 → k = \frac{3}{5}$$.

Per trovare il valore di $$k$$ per cui la retta passa per il punto (2, 9), sostituiamo $$x = 2$$ e $$y = 9$$ nell'equazione:
$$9 = 2(2k - 1) + k + 5 → k = -2$$.

Per trovare il valore di $$k$$ per cui la retta passa per il punto (-1, -3), sostituiamo $$x = -1$$ e $$y = -3$$ nell'equazione:
$$-3 = -1(k + 4) - k + 2 → k = \frac{3}{2}$$.

Per trovare il valore di $$k$$ per cui la retta passa per il punto (3, 2), sostituiamo $$x = 3$$ e $$y = 2$$ nell'equazione:
$$2 = 3(k - 3) + 5k - 8 → k = \frac{5}{4}$$.

Il fascio proprio di rette centrato nel punto P (2, -1) ha equazione $$y + 1 = mx - 2$$, dato che l'equazione generica di un fascio è $$y - y_1 = m(x - x_1)$$.

Il fascio proprio di rette centrato nel punto P (-2, 3) ha equazione $$y - 3 = mx + 2$$, poiché l'equazione generica di un fascio è $$y - y_1 = m(x - x_1)$$.

Il fascio proprio di rette centrato nel punto P (4, -5) ha equazione $$y + 5 = mx - 4$$, poiché l'equazione generica di un fascio è $$y - y_1 = m(x - x_1)$$.

Il fascio proprio di rette centrato nel punto P (1, 2) ha equazione $$y - 2 = mx - 1$$, poiché l'equazione generica di un fascio è $$y - y_1 = m(x - x_1)$$.

Il fascio proprio di rette centrato nel punto P (-3, 1) ha equazione $$y - 1 = mx + 3$$, poiché l'equazione generica di un fascio è $$y - y_1 = m(x - x_1)$$.

Il fascio proprio di rette a cui appartengono le due rette $$y = x + 1$$ e $$y = -2x + 3$$ ha equazione generale $$y + 1 = mx + 2m$$.

Il fascio proprio di rette a cui appartengono le due rette $$y = 3x - 4$$ e $$y = -x + 2$$ ha equazione generale $$y + 4 = mx + 5m$$.

Il fascio proprio di rette a cui appartengono le due rette $$y = -x - 1$$ e $$y = 4x + 5$$ ha equazione generale $$y + 1 = mx + 5m$$.

Il fascio proprio di rette a cui appartengono le due rette $$y = 2x - 3$$ e $$y = -3x + 4$$ ha equazione generale $$y + 3 = mx - 4m$$.

Il fascio proprio di rette a cui appartengono le due rette $$y = x + 2$$ e $$y = -2x - 1$$ ha equazione generale $$y + 2 = mx + 4m$$.

Per determinare il valore di $$k$$ affinché la retta $$x + ky - 5 = 0$$ appartenga al fascio $$y = -\frac{2}{3}x + c$$, riscriviamo la retta nella forma esplicita: $$y = -\frac{1}{k}x + \frac{5}{k}$$.
Per essere parte del fascio, la pendenza $$-\frac{1}{k}$$ deve essere uguale a $$-\frac{2}{3}$$, quindi $$k = -\frac{2}{3}$$.

Per determinare il valore di $$k$$ affinché la retta $$3x + ky - 7 = 0$$ appartenga al fascio $$y = \frac{1}{4}x + c$$, riscriviamo la retta nella forma esplicita: $$y = -\frac{3}{k}x + \frac{7}{k}$$.
Per essere parte del fascio, la pendenza $$-\frac{3}{k}$$ deve essere uguale a $$\frac{1}{4}$$, quindi $$k = -\frac{1}{4}$$.

Per determinare il valore di $$k$$ affinché la retta $$x + ky + 1 = 0$$ appartenga al fascio $$y = \frac{3}{5}x + c$$, riscriviamo la retta nella forma esplicita: $$y = -\frac{1}{k}x - \frac{1}{k}$$.
Per essere parte del fascio, la pendenza $$-\frac{1}{k}$$ deve essere uguale a $$\frac{3}{5}$$, quindi $$k = -\frac{5}{3}$$.

Per determinare il valore di $$k$$ affinché la retta $$2x + ky - 6 = 0$$ appartenga al fascio $$y = -\frac{1}{2}x + c$$, riscriviamo la retta nella forma esplicita: $$y = -\frac{2}{k}x + \frac{6}{k}$$.
Per essere parte del fascio, la pendenza $$-\frac{2}{k}$$ deve essere uguale a $$-\frac{1}{2}$$, quindi $$k = -\frac{1}{2}$$.

Per determinare il valore di $$k$$ affinché la retta $$5x + ky + 3 = 0$$ appartenga al fascio $$y = \frac{2}{3}x + c$$, riscriviamo la retta nella forma esplicita: $$y = -\frac{5}{k}x - \frac{3}{k}$$.
Per essere parte del fascio, la pendenza $$-\frac{5}{k}$$ deve essere uguale a $$\frac{2}{3}$$, quindi $$k = -\frac{2}{3}$$.

Il fascio improprio di rette parallele alla retta $$3x = 8$$ è dato da tutte le rette di equazione $$x = h$$, dove $$h$$ è una costante.

Il fascio improprio di rette parallele alla retta $$x + 5 = 0$$ è dato da tutte le rette di equazione $$x = h$$, dove $$h$$ è una costante.

Il fascio improprio di rette parallele alla retta $$4x = -6$$ è dato da tutte le rette di equazione $$x = h$$, dove $$h$$ è una costante.

Il fascio improprio di rette parallele alla retta $$-2x = 3$$ è dato da tutte le rette di equazione $$x = h$$, dove $$h$$ è una costante.

Il fascio improprio di rette parallele alla retta $$x - 9 = 0$$ è dato da tutte le rette di equazione $$x = h$$, dove $$h$$ è una costante.

Il fascio improprio di rette perpendicolari alla retta $$y = -3x + 2$$ è dato da tutte le rette di equazione $$y = \frac{1}{3}x + k$$, dove $$k$$ è una costante.

Il fascio improprio di rette perpendicolari alla retta $$y = 2x - 7$$ è dato da tutte le rette di equazione $$y = -\frac{1}{2}x + k$$, dove $$k$$ è una costante.

Il fascio improprio di rette perpendicolari alla retta $$y = \frac{1}{2}x + 4$$ è dato da tutte le rette di equazione $$y = -2x + k$$, dove $$k$$ è una costante.