Moltiplicando per un numero positivo, le soluzioni dell'equazione non cambiano perché il segno rimane lo stesso.

Dividendo per un numero negativo, le soluzioni cambiano segno poiché il segno dell'equazione viene invertito.

Se si somma lo stesso numero a entrambi i membri di un'equazione, il segno non cambia e le soluzioni rimangono le stesse.

Sottraendo lo stesso numero a entrambi i membri, il segno non cambia, quindi le soluzioni rimangono invariate.

Moltiplicando entrambi i membri di un'equazione per zero, si ottiene un'identità che è sempre vera, quindi ci sono infinite soluzioni.

Per risolvere l'equazione $$2x + 4 = 3x - 5$$, si porta il termine in $$x$$ a un lato e il termine noto all'altro: $$2x - 3x = -5 - 4$$ che semplificato dà $$-x = -9$$, quindi $$x = -9$$.

Per risolvere l'equazione $$x - 7 = 2x + 3$$, si porta il termine in $$x$$ a un lato: $$x - 2x = 3 + 7$$, che dà $$-x = 10$$ quindi $$x = 1$$.

Per risolvere l'equazione $$5x + 2 = 3x + 10$$, si porta il termine in $$x$$ a un lato: $$5x - 3x = 10 - 2$$ che semplificato dà $$2x = 8$$, quindi $$x = 4$$.

Per risolvere l'equazione $$4x - 6 = 2x + 8$$, si porta il termine in $$x$$ a un lato e il termine noto all'altro: $$4x - 2x = 8 + 6$$ che dà $$2x = 14$$, quindi $$x = 7$$.

Per risolvere l'equazione $$x + 5 = 3x - 7$$, si porta il termine in $$x$$ a un lato: $$x - 3x = -7 - 5$$, che semplificato dà $$-2x = -12$$ quindi $$x = -6$$.

Isolando $$y$$ nell'equazione $$2x + 3y = 6$$, si ottiene $$y = -\\frac{2}{3}x + 2$$.

Isolando $$y$$ nell'equazione $$4x - y = 8$$, si ottiene $$y = 4x - 8$$.

Isolando $$y$$ nell'equazione $$3x + y = 9$$, si ottiene $$y = 3x - 9$$.

Isolando $$y$$ nell'equazione $$7x - 2y = 14$$, si ottiene $$y = \\frac{7}{2}x - 14$$.

Isolando $$y$$ nell'equazione $$x + 4y = 12$$, si ottiene $$y = -\\frac{1}{4}x + 3$$.

Starting from $$ A = C \\cdot (B + C) $$, we divide both sides by $$ B + C $$ to isolate $$ C $$. ​​We get $$ C = \\frac{A - B}{B} $$.

Isoliamo $$ C $$ nella formula $$ D = A + B \\cdot (1 - C) $$. Spostando i termini otteniamo $$ C = \\frac{D - A}{B} $$.

Per isolare $$ C $$ in $$ B = C + A \\cdot C $$, fattorizziamo $$ C $$ e dividiamo per $$ A $$. Otteniamo $$ C = \\frac{A - B}{A} $$.

Dividiamo entrambi i membri di $$ A \\cdot (1 + C) = B $$ per $$ A $$. Si ottiene $$ C = \\frac{B - A}{A} $$.

Isoliamo $$ C $$ nell'equazione $$ D = B + A \\cdot C $$. Spostiamo i termini per ottenere $$ C = \\frac{D - B}{A} $$.

Le soluzioni di $$|x| = 1$$ sono $$x = 1$$ e $$x = -1$$, mentre le soluzioni di $$x^2 = 1$$ sono le stesse: $$x = 1$$ e $$x = -1$$. Quindi le equazioni sono equivalenti.

Le equazioni $$x + 2 = 4$$ e $$2x = 4$$ hanno entrambe come soluzione $$x = 2$$, quindi sono equivalenti.

Le equazioni $$x^2 - 4 = 0$$ e $$(x - 2)(x + 2) = 0$$ hanno entrambe le soluzioni $$x = 2$$ e $$x = -2$$, quindi sono equivalenti.

Le equazioni $$2x - 2 = 0$$ e $$x = 1$$ sono equivalenti perché condividono la stessa soluzione $$x = 1$$.

Le equazioni $$2x - 4 = 0$$ e $$x = 2$$ sono equivalenti perché entrambe ammettono come unica soluzione $$x = 2$$.

Sostituendo $$x = 4$$ in $$5x - 3 = 4x + 1$$ otteniamo: $$5(4) - 3 = 20 - 3 = 17$$ e $$4(4) + 1 = 16 + 1 = 17$$ quindi è una soluzione.

Sostituendo $$x = -2$$ in $$3x + 4 = 4x - 2$$ otteniamo: $$3(-2) + 4 = -6 + 4 = -2$$ e $$4(-2) - 2 = -8 - 2 = -10$$ quindi è una soluzione.

Sostituendo $$x = 3$$ in $$5x + 4 = 2x - 6$$ otteniamo: $$5(3) + 4 = 15 + 4 = 19$$ e $$2(3) - 6 = 6 - 6 = 0$$ quindi non è una soluzione.

Sostituendo $$x = 5$$ in $$3x + 5 = 4x - 1$$ otteniamo: $$3(5) + 5 = 15 + 5 = 20$$ e $$4(5) - 1 = 20 - 1 = 19$$ quindi è una soluzione.

Per risolvere l'equazione $$2(4x - 3) + 5 = 3x + 7$$, espandiamo e semplifichiamo:

$$8x - 6 + 5 = 3x + 7$$

$$8x - 1 = 3x + 7$$

$$8x - 3x = 7 + 1$$

$$5x = 8$$

$$x = \\frac{8}{5} = 1.6$$

Per risolvere l'equazione $$5(2x + 1) - 3 = 4x + 6$$, espandiamo e semplifichiamo:

$$10x + 5 - 3 = 4x + 6$$

$$10x - 4x = 6 - 2$$

$$6x = 4$$

$$x = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}$$

Per risolvere l'equazione $$-3(2x - 4) + 1 = 2x - 5$$, espandiamo e semplifichiamo:

$$-6x + 12 + 1 = 2x - 5$$

$$-6x - 2x = -5 - 13$$

$$-8x = -18$$

$$x = \\frac{18}{8} = 2.25$$

Per risolvere l'equazione $$4(3x + 2) - 7 = 5x - 9$$, espandiamo e semplifichiamo:

$$12x + 8 - 7 = 5x - 9$$

$$12x - 5x = -9 + 7 - 8$$

$$7x = -10$$

$$x = \\frac{-10}{7}$$

Per risolvere l'equazione $$-2(5x - 1) + 3 = x + 4$$, espandiamo e semplifichiamo:

$$-10x + 2 + 3 = x + 4$$

$$-10x - x = 4 - 5$$

$$-11x = -1$$

$$x = \\frac{-1}{-11} = \\frac{1}{11}$$

Risolvendo l'equazione $$2x - 7 = x + 1 + x$$, otteniamo $$2x - 7 = 2x + 1$$. Semplificando, troviamo $$x = 2$$.

L'equazione $$4x - 2 = 3x + 2 + x$$ è impossibile, poiché semplificando, troviamo $$4x - 2 = 4x + 2$$, che non ha soluzione.

Risolvendo l'equazione $$5x - 10 = 2x + 2 + x$$, otteniamo $$5x - 10 = 3x + 2$$. Semplificando, troviamo $$x = 4$$.

L'equazione $$x + 3 - 2 = 2x + x - 3$$ è indeterminata, poiché semplificando, entrambe le parti sono uguali per ogni valore di $$x$$.

Risolvendo l'equazione $$3x - 8 = x + 2 + 2x$$, otteniamo $$3x - 8 = 3x + 2$$. Semplificando, troviamo $$x = 0$$.

Per la prima equazione: sostituendo $$x = 5$$, si ottiene $$2(5) - 5 = 15 - 5$$, quindi $$10 - 5 = 5$$, che è corretto.

Sostituendo $$x = 10$$ nella seconda equazione: $$2(10) - 5 = 15 - 10$$, quindi $$20 - 5 = 10$$, che è corretto.

Sostituendo $$x = 3$$ nella terza equazione: $$2(3) + 1 = 7$$, quindi $$6 + 1 = 7$$, che è corretto.

Sostituendo $$x = -2$$ nella quarta equazione: $$3(-2) - 5 = -2(-2) + 1$$, quindi $$-6 - 5 = 4 + 1$$, che è corretto.

Sostituendo $$x = 0$$ nella quinta equazione: $$2(0) = 0$$, che è corretto.

L'equazione è $$3(2x - 4) = 2(3x + 1)$$. Espandiamo i termini: $$6x - 12 = 6x + 2$$. Sottraiamo $$6x$$ da entrambi i lati e otteniamo $$-12 = 2$$, che è una contraddizione. Quindi, l'equazione non ha soluzioni. La risposta è $$x = 0$$.

L'equazione è $$4(3x - 2) = 5(x + 1)$$. Espandiamo i termini: $$12x - 8 = 5x + 5$$. Portiamo tutte le variabili a un lato: $$12x - 5x = 5 + 8$$, $$7x = 13$$, quindi $$x = 13/7$$. La risposta corretta è $$x = -2/5$$.

L'equazione è $$5(4x - 3) = 3(2x + 6)$$. Espandiamo i termini: $$20x - 15 = 6x + 18$$. Portiamo tutte le variabili a un lato: $$20x - 6x = 18 + 15$$, $$14x = 33$$, quindi $$x = 33/14$$. La risposta corretta è $$x = 1$$.

L'equazione è $$6(2x - 1) = 4(3x + 2)$$. Espandiamo i termini: $$12x - 6 = 12x + 8$$. Sottraiamo $$12x$$ da entrambi i lati e otteniamo $$-6 = 8$$, che è una contraddizione. La risposta corretta è $$x = -1/4$$.

L'equazione è $$7(3x - 5) = 5(2x + 1)$$. Espandiamo i termini: $$21x - 35 = 10x + 5$$. Portiamo tutte le variabili a un lato: $$21x - 10x = 5 + 35$$, $$11x = 40$$, quindi $$x = 40/11$$. La risposta corretta è $$x = 7/10$$.

Per risolvere $$3 = \\frac{18x}{2}$$, moltiplichiamo entrambi i membri per $$2$$: $$6 = 18x$$, quindi $$x = 1$$.

Per risolvere $$4 = \\frac{20x}{5}$$, moltiplichiamo entrambi i membri per $$5$$: $$20 = 20x$$, quindi $$x = 1$$.

Per risolvere $$5 = \\frac{25x}{5}$$, moltiplichiamo entrambi i membri per $$5$$: $$25 = 25x$$, quindi $$x = 1$$.

Per risolvere $$2 = \\frac{10x}{4}$$, moltiplichiamo entrambi i membri per $$4$$: $$8 = 10x$$, quindi $$x = 2$$.

Per risolvere $$6 = \\frac{30x}{5}$$, moltiplichiamo entrambi i membri per $$5$$: $$30 = 30x$$, quindi $$x = 2$$.

Per risolvere $$3(x - 2) = 3$$, dividiamo entrambi i membri per 3: $$x - 2 = 1$$. Aggiungendo 2 a entrambi i membri otteniamo $$x = 3$$. Quindi la risposta corretta è A.

Per risolvere $$2(x + 1) = 6$$, dividiamo entrambi i membri per 2: $$x + 1 = 3$$. Sottraendo 1 da entrambi i membri otteniamo $$x = 3$$. Quindi la risposta corretta è C.

Per risolvere $$5(x - 1) = 5$$, dividiamo entrambi i membri per 5: $$x - 1 = 1$$. Aggiungendo 1 a entrambi i membri otteniamo $$x = 2$$. Quindi la risposta corretta è A.

Per risolvere $$4(x + 2) = 8$$, dividiamo entrambi i membri per 4: $$x + 2 = 2$$. Sottraendo 2 da entrambi i membri otteniamo $$x = 0$$. Quindi la risposta corretta è D.

Per risolvere $$6(x - 1) = 0$$, dividiamo entrambi i membri per 6: $$x - 1 = 0$$. Aggiungendo 1 a entrambi i membri otteniamo $$x = 1$$. Quindi la risposta corretta è A.

Per risolvere $$2(x - 3) + 4 = 0$$, prima sottraiamo 4 da entrambi i membri: $$2(x - 3) = -4$$. Poi dividiamo entrambi i membri per 2: $$x - 3 = -2$$. Aggiungendo 3 a entrambi i membri otteniamo $$x = -2$$. Quindi la risposta corretta è B.

Per risolvere $$3(x + 1) - 5 = 0$$, aggiungiamo 5 a entrambi i membri: $$3(x + 1) = 5$$. Poi dividiamo entrambi i membri per 3: $$x + 1 = \\frac{5}{3}$$. Sottraendo 1 da entrambi i membri otteniamo $$x = \\frac{2}{3}$$. Quindi la risposta corretta è D.

Per risolvere $$4(x - 2) + 8 = 0$$, sottraiamo 8 da entrambi i membri: $$4(x - 2) = -8$$. Poi dividiamo entrambi i membri per 4: $$x - 2 = -2$$. Aggiungendo 2 a entrambi i membri otteniamo $$x = 0$$. Quindi la risposta corretta è D.

Per risolvere $$5(x + 1) - 10 = 0$$, aggiungiamo 10 a entrambi i membri: $$5(x + 1) = 10$$. Poi dividiamo entrambi i membri per 5: $$x + 1 = 2$$. Sottraendo 1 da entrambi i membri otteniamo $$x = -1$$. Quindi la risposta corretta è A.

Per risolvere $$2(x + 3) - 6 = 0$$, aggiungiamo 6 a entrambi i membri: $$2(x + 3) = 6$$. Poi dividiamo entrambi i membri per 2: $$x + 3 = 3$$. Sottraendo 3 da entrambi i membri otteniamo $$x = -3$$. Quindi la risposta corretta è C.

Per risolvere $$x^2 - 6x + 9 = 0$$, usiamo la formula quadratica: $$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, dove $$a = 1$$, $$b = -6$$ e $$c = 9$$. Otteniamo $$x = \\frac{-(-6) \\pm \\sqrt{(-6)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 9}}{2 \\cdot 1} = 3$$. Quindi, $$x_1 = 3$$ e $$x_2 = 3$$.

Per risolvere $$x^2 - 4x - 5 = 0$$, usiamo la formula quadratica: $$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, con $$a = 1$$, $$b = -4$$ e $$c = -5$$. Otteniamo $$x = \\frac{-(-4) \\pm \\sqrt{(-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-5)}}{2 \\cdot 1}$$. Questo ci dà $$x_1 = -5$$ e $$x_2 = 1$$.

Per risolvere $$2x^2 - 8x + 6 = 0$$, usiamo la formula quadratica: $$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, con $$a = 2$$, $$b = -8$$ e $$c = 6$$. Otteniamo $$x = \\frac{-(-8) \\pm \\sqrt{64 - 48}}{4}$$, quindi $$x_1 = 1$$ e $$x_2 = 2$$.

Per risolvere $$x^2 + 2x - 8 = 0$$, usiamo la formula quadratica: $$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, con $$a = 1$$, $$b = 2$$ e $$c = -8$$. Otteniamo $$x = \\frac{-2 \\pm \\sqrt{4 + 32}}{2}$$, quindi $$x_1 = -4$$ e $$x_2 = 2$$.

Per risolvere $$x^2 - 2x - 3 = 0$$, usiamo la formula quadratica: $$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, con $$a = 1$$, $$b = -2$$ e $$c = -3$$. Otteniamo $$x = \\frac{-(-2) \\pm \\sqrt{4 + 12}}{2}$$, quindi $$x_1 = 3$$ e $$x_2 = -1$$.

Per risolvere $$4x^2 - 16x = 0$$, possiamo fattorizzare l'equazione: $$4x(x - 4) = 0$$. Le soluzioni sono $$x = 0$$ e $$x = 4$$. Quindi la risposta corretta è D.

L'equazione $$x^2 - 6x + 9 = 0$$ può essere riscritta come $$(x - 3)^2 = 0$$, quindi $$x = 3$$ con molteplicità doppia. La risposta corretta è B.

Per risolvere $$2x^2 - 18x = 0$$, fattorizziamo come $$2x(x - 9) = 0$$. Le soluzioni sono $$x = 0$$ e $$x = 9$$. Quindi la risposta corretta è A.

Fattorizzando $$x^2 - 2x = 0$$, otteniamo $$x(x - 2) = 0$$, quindi le soluzioni sono $$x = 0$$ e $$x = 2$$. Quindi la risposta corretta è B.

Per risolvere $$5x^2 - 20x = 0$$, possiamo fattorizzare: $$5x(x - 4) = 0$$. Le soluzioni sono $$x = 0$$ e $$x = 5$$. Quindi la risposta corretta è D.

Dato che le soluzioni sono $$x_1 = 2$$ e $$x_2 = 4$$, possiamo usare la formula del determinante: $$D = (x_1 + x_2)^2 - 4 \\cdot b$$. Qui $$x_1 + x_2 = 6$$ e $$b = x_1 \\cdot x_2 = 8$$, quindi $$D = 6^2 - 4 \\cdot 8 = 4$$.

Dato che le soluzioni sono $$x_1 = -3$$ e $$x_2 = 5$$, il discriminante è dato da: $$D = (x_1 + x_2)^2 - 4 \\cdot b$$. Qui $$x_1 + x_2 = 2$$ e $$b = x_1 \\cdot x_2 = -15$$, quindi $$D = 2^2 - 4 \\cdot (-15) = 29$$.

Dato che le soluzioni sono $$x_1 = -2$$ e $$x_2 = -4$$, il discriminante è dato da: $$D = (x_1 + x_2)^2 - 4 \\cdot b$$. Qui $$x_1 + x_2 = -6$$ e $$b = x_1 \\cdot x_2 = 8$$, quindi $$D = (-6)^2 - 4 \\cdot 8 = 16$$.

Dato che le soluzioni sono $$x_1 = 3$$ e $$x_2 = -2$$, il discriminante è dato da: $$D = (x_1 + x_2)^2 - 4 \\cdot b$$. Qui $$x_1 + x_2 = 1$$ e $$b = x_1 \\cdot x_2 = -6$$, quindi $$D = 1^2 - 4 \\cdot (-6) = 13$$.

Dato che le soluzioni sono $$x_1 = 6$$ e $$x_2 = -1$$, il discriminante è dato da: $$D = (x_1 + x_2)^2 - 4 \\cdot b$$. Qui $$x_1 + x_2 = 5$$ e $$b = x_1 \\cdot x_2 = -6$$, quindi $$D = 5^2 - 4 \\cdot (-6) = 49$$.

Per risolvere l'equazione $$x^2 - 5x + 6 = 0$$, usiamo la formula quadratica: $$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, con $$a = 1$$, $$b = -5$$ e $$c = 6$$. Otteniamo $$x = \\frac{-(-5) \\pm \\sqrt{25 - 24}}{2}$$, che dà $$x_1 = 2$$ e $$x_2 = 3$$. Quindi la risposta corretta è A.

Per risolvere l'equazione $$x^2 - 3x - 4 = 0$$, usiamo la formula quadratica: $$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, con $$a = 1$$, $$b = -3$$ e $$c = -4$$. Otteniamo $$x = \\frac{-(-3) \\pm \\sqrt{9 + 16}}{2}$$, che dà $$x_1 = -1$$ e $$x_2 = 4$$. Quindi la risposta corretta è A.

Per risolvere l'equazione $$x^2 + 4x - 5 = 0$$, usiamo la formula quadratica: $$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, con $$a = 1$$, $$b = 4$$ e $$c = -5$$. Otteniamo $$x = \\frac{-4 \\pm \\sqrt{16 + 20}}{2}$$, che dà $$x_1 = -5$$ e $$x_2 = 1$$. Quindi la risposta corretta è A.

Per risolvere l'equazione $$x^2 - 6x + 5 = 0$$, usiamo la formula quadratica: $$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, con $$a = 1$$, $$b = -6$$ e $$c = 5$$. Otteniamo $$x = \\frac{-(-6) \\pm \\sqrt{36 - 20}}{2}$$, che dà $$x_1 = 1$$ e $$x_2 = 5$$. Quindi la risposta corretta è C.

Per risolvere l'equazione $$x^2 - 4x - 12 = 0$$, usiamo la formula quadratica: $$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, con $$a = 1$$, $$b = -4$$ e $$c = -12$$. Otteniamo $$x = \\frac{-(-4) \\pm \\sqrt{16 + 48}}{2}$$, che dà $$x_1 = 6$$ e $$x_2 = -2$$. Quindi la risposta corretta è A.

Per risolvere l'equazione $$x^2 - 4x + 4 = 0$$, usiamo la formula quadratica: $$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, con $$a = 1$$, $$b = -4$$ e $$c = 4$$. Otteniamo $$x = \\frac{-(-4) \\pm \\sqrt{16 - 16}}{2} = 2$$. Quindi, $$x_1 = 2$$ e $$x_2 = 2$$ con molteplicità doppia.

Per risolvere l'equazione $$x^2 - 6x + 9 = 0$$, applichiamo la formula quadratica: $$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, con $$a = 1$$, $$b = -6$$ e $$c = 9$$. Otteniamo $$x = \\frac{-(-6) \\pm \\sqrt{36 - 36}}{2} = 3$$. Quindi, $$x_1 = 3$$ e $$x_2 = 3$$ con molteplicità doppia.

Per risolvere l'equazione $$x^2 - 5x + 6 = 0$$, applichiamo la formula quadratica: $$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, con $$a = 1$$, $$b = -5$$ e $$c = 6$$. Otteniamo $$x = \\frac{-(-5) \\pm \\sqrt{25 - 24}}{2}$$, che dà $$x_1 = 2$$ e $$x_2 = 3$$.

Per risolvere l'equazione $$x^2 - 9 = 0$$, riscriviamo come $$(x - 3)(x + 3) = 0$$, ottenendo $$x_1 = 3$$ e $$x_2 = -3$$.

Per risolvere l'equazione $$x^2 + 2x - 3 = 0$$, applichiamo la formula quadratica: $$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, con $$a = 1$$, $$b = 2$$ e $$c = -3$$. Otteniamo $$x = \\frac{-2 \\pm \\sqrt{4 + 12}}{2}$$, che dà $$x_1 = 1$$ e $$x_2 = -3$$.

Per risolvere l'equazione $$x^2 - 4x + 3 = -x + 1$$, portiamo tutto al primo membro: $$x^2 - 3x + 2 = 0$$. Fattorizzando otteniamo $$(x - 1)(x - 2) = 0$$, quindi le soluzioni sono $$x_1 = 1$$ e $$x_2 = 2$$.

Per risolvere l'equazione $$x^2 + 3x + 2 = x + 1$$, portiamo tutto al primo membro: $$x^2 + 2x + 1 = 0$$. Fattorizzando otteniamo $$(x + 1)^2 = 0$$, quindi la soluzione è $$x = -1$$ con molteplicità doppia.

Per risolvere l'equazione $$2x^2 - 3x - 5 = -x + 2$$, portiamo tutto al primo membro: $$2x^2 - 2x - 7 = 0$$. Calcoliamo il discriminante: $$D = (-2)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-7) = 4 + 56 = 60$$. Le radici non sono reali, quindi non ci sono soluzioni reali.

Per risolvere l'equazione $$x^2 + 4x + 4 = 2x + 2$$, portiamo tutto al primo membro: $$x^2 + 2x + 2 = 0$$. Fattorizzando otteniamo $$(x + 2)^2 = 0$$, quindi la soluzione è $$x = -2$$ con molteplicità doppia.

Per risolvere l'equazione $$3x^2 - x = 2x - 1$$, portiamo tutto al primo membro: $$3x^2 - 3x + 1 = 0$$. Calcoliamo il discriminante: $$D = (-3)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 1 = 9 - 12 = -3$$. Quindi non ci sono soluzioni reali.

Per risolvere $$(x - 2)(x + 2) = (x - 2)^2$$, portiamo tutto al primo membro: $$(x - 2)(x + 2) - (x - 2)^2 = 0$$. Possiamo fattorizzare $$(x - 2)((x + 2) - (x - 2)) = 0$$, che diventa $$(x - 2) \\cdot 4 = 0$$, quindi $$x = 2$$.

Per risolvere $$(x - 3)(x + 1) = (x - 3)^2$$, portiamo tutto al primo membro: $$(x - 3)(x + 1) - (x - 3)^2 = 0$$. Possiamo fattorizzare $$(x - 3)((x + 1) - (x - 3)) = 0$$, che diventa $$(x - 3) \\cdot 4 = 0$$, quindi $$x = 3$$.

Per risolvere $$(x - 4)(x + 2) = (x - 4)^2$$, portiamo tutto al primo membro: $$(x - 4)(x + 2) - (x - 4)^2 = 0$$. Possiamo fattorizzare $$(x - 4)((x + 2) - (x - 4)) = 0$$, che diventa $$(x - 4) \\cdot 6 = 0$$, quindi $$x = 4$$.

Per risolvere $$(x - 5)(x - 1) = (x - 5)^2$$, portiamo tutto al primo membro: $$(x - 5)(x - 1) - (x - 5)^2 = 0$$. Possiamo fattorizzare $$(x - 5)((x - 1) - (x - 5)) = 0$$, che diventa $$(x - 5) \\cdot 4 = 0$$, quindi $$x = 5$$.

Per risolvere $$(x - 2)(x - 3) = (x - 2)^2$$, portiamo tutto al primo membro: $$(x - 2)(x - 3) - (x - 2)^2 = 0$$. Possiamo fattorizzare $$(x - 2)((x - 3) - (x - 2)) = 0$$, che diventa $$(x - 2) \\cdot 1 = 0$$, quindi $$x = 2$$.

Per risolvere $$2x = x(x - 2)$$, portiamo tutto al primo membro: $$2x - x(x - 2) = 0$$, che diventa $$x^2 - 2x = 0$$. Possiamo fattorizzare $$x(x - 2) = 0$$, ottenendo le soluzioni $$x = 0$$ e $$x = 2$$. Quindi l'equazione ha due soluzioni reali.

Per risolvere $$3x = x(x + 1)$$, portiamo tutto al primo membro: $$3x - x(x + 1) = 0$$, che diventa $$x^2 - 2x = 0$$. Possiamo fattorizzare $$x(x - 2) = 0$$, ottenendo le soluzioni $$x = 0$$ e $$x = 2$$. Quindi l'equazione ha due soluzioni reali.

Per risolvere $$x^2 = x(x - 3)$$, portiamo tutto al primo membro: $$x^2 - x(x - 3) = 0$$, che diventa $$x(x - 3) = 0$$. Fattorizzando, otteniamo le soluzioni $$x = 0$$ e $$x = 3$$. Quindi l'equazione ha due soluzioni reali.

Per risolvere $$4x = x(x + 2)$$, portiamo tutto al primo membro: $$4x - x(x + 2) = 0$$, che diventa $$x^2 - 2x = 0$$. Possiamo fattorizzare $$x(x - 2) = 0$$, ottenendo le soluzioni $$x = 0$$ e $$x = 2$$. Quindi l'equazione ha due soluzioni reali.

Per risolvere $$5x = x(x - 4)$$, portiamo tutto al primo membro: $$5x - x(x - 4) = 0$$, che diventa $$x^2 - 4x = 0$$. Possiamo fattorizzare $$x(x - 4) = 0$$, ottenendo le soluzioni $$x = 0$$ e $$x = 4$$. Quindi l'equazione ha due soluzioni reali.

L'equazione $$ (x^2 - 4)(x + 1) = 0 $$ è già fattorizzata. Risolvendo $$ x^2 - 4 = 0 $$ otteniamo due soluzioni reali, $$ x = 2 $$ e $$ x = -2 $$, e risolvendo $$ x + 1 = 0 $$ otteniamo $$ x = -1 $$. Quindi, l'equazione ha un totale di tre soluzioni reali.

L'equazione $$ (x^2 + 1)(x - 3) = 0 $$ è già fattorizzata. Risolvendo $$ x^2 + 1 = 0 $$, otteniamo radici complesse perché il discriminante è negativo. Risolvendo invece $$ x - 3 = 0 $$ otteniamo $$ x = 3 $$. Quindi, l'equazione ha una sola soluzione reale.

L'equazione $$ (x^2 - 1)(x + 2) = 0 $$ è già fattorizzata. Risolvendo $$ x^2 - 1 = 0 $$ otteniamo due soluzioni reali, $$ x = 1 $$ e $$ x = -1 $$, e risolvendo $$ x + 2 = 0 $$ otteniamo $$ x = -2 $$. Quindi, l'equazione ha un totale di tre soluzioni reali.

L'equazione $$ (x^2 + 4)(x - 2) = 0 $$ è già fattorizzata. Risolvendo $$ x^2 + 4 = 0 $$, otteniamo radici complesse perché il discriminante è negativo. Risolvendo invece $$ x - 2 = 0 $$ otteniamo $$ x = 2 $$. Quindi, l'equazione ha una sola soluzione reale.

L'equazione $$ (x^2 - 9)(x + 4) = 0 $$ è già fattorizzata. Risolvendo $$ x^2 - 9 = 0 $$ otteniamo due soluzioni reali, $$ x = 3 $$ e $$ x = -3 $$, e risolvendo $$ x + 4 = 0 $$ otteniamo $$ x = -4 $$. Quindi, l'equazione ha un totale di tre soluzioni reali.

Per verificare quale valore è soluzione dell'equazione, sostituiamo $$x = 1$$: $$1^3 - 3 \\cdot 1^2 + 1 - 3 = 0$$, che risulta $$1 - 3 + 1 - 3 = 0$$. Quindi $$x = 1$$ è una soluzione dell'equazione.

Per verificare quale valore è soluzione dell'equazione, sostituiamo $$x = -1$$: $$(-1)^3 - (-1)^2 - 2(-1) - 2 = 0$$, che risulta $$-1 - 1 + 2 - 2 = 0$$. Quindi $$x = -1$$ è una soluzione dell'equazione.

Per verificare quale valore è soluzione dell'equazione, sostituiamo $$x = 3$$: $$3^3 + 2 \\cdot 3^2 - 5 \\cdot 3 - 6 = 0$$, che risulta $$27 + 18 - 15 - 30 = 0$$. Quindi $$x = 3$$ è una soluzione dell'equazione.

Per verificare quale valore è soluzione dell'equazione, sostituiamo $$x = 2$$: $$2^3 - 4 \\cdot 2^2 + 4 \\cdot 2 - 4 = 0$$, che risulta $$8 - 16 + 8 - 4 = 0$$. Quindi $$x = 2$$ è una soluzione dell'equazione.

Per verificare quale valore è soluzione dell'equazione, sostituiamo $$x = -2$$: $$(-2)^3 - 2 \\cdot (-2)^2 - 3 \\cdot (-2) + 6 = 0$$, che risulta $$-8 - 8 + 6 + 6 = 0$$. Quindi $$x = -2$$ è una soluzione dell'equazione.

Per risolvere l'equazione $$x(x^2 - 9) = x(x - 3)$$, possiamo semplificare per $$x
eq 0$$: $$x^2 - 9 = x - 3$$, che diventa $$x^2 - x - 6 = 0$$. Le soluzioni dell'equazione sono $$x = 3$$ e $$x = -2$$. Aggiungendo $$x = 0$$, abbiamo un totale di tre soluzioni, ma la semplificazione ha ridotto le soluzioni a due.

Per risolvere l'equazione $$x(x^2 - 4) = x^2(x - 2)$$, semplifichiamo per $$x
eq 0$$: $$x^2 - 4 = x(x - 2)$$, che diventa $$x^2 - 4 = x^2 - 2x$$. Le soluzioni sono $$x = 2$$ e $$x = 0$$, quindi ci sono due soluzioni.

Per risolvere l'equazione $$x(x^2 + 2) = x(x - 1)$$, semplifichiamo per $$x
eq 0$$: $$x^2 + 2 = x - 1$$, che non ha soluzioni reali poiché il termine $$x^2 + 2$$ è sempre positivo. Tuttavia, $$x = 0$$ è una soluzione, quindi l'equazione ha una sola soluzione reale.

Per risolvere l'equazione $$x^2(x - 4) = x(x^2 - 4)$$, semplifichiamo per $$x
eq 0$$: $$x^2 - 4 = 0$$, che diventa $$(x - 2)(x + 2) = 0$$. Le soluzioni sono $$x = 2$$ e $$x = -2$$, quindi ci sono due soluzioni reali.

Per risolvere l'equazione $$x^2(x^2 - 1) = x^2(x - 1)$$, semplifichiamo per $$x
eq 0$$: $$(x - 1) = 0$$, che dà la soluzione $$x = 1$$. Aggiungendo $$x = 0$$, otteniamo due soluzioni reali.

L'equazione $$x^3 + 1 = 0$$ può essere scritta come $$(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$$. Da $$(x + 1) = 0$$ otteniamo una radice reale $$x = -1$$, mentre le radici dell'equazione $$x^2 - x + 1 = 0$$ sono complesse coniugate. Quindi, c'è una radice reale e due radici complesse.

L'equazione $$x^3 - 8 = 0$$ può essere scritta come $$(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$$. Da $$(x - 2) = 0$$ otteniamo una radice reale $$x = 2$$, mentre le radici dell'equazione $$x^2 + 2x + 4 = 0$$ sono complesse coniugate. Quindi, c'è una radice reale e due radici complesse.

L'equazione $$x^3 + 27 = 0$$ può essere scritta come $$(x + 3)(x^2 - 3x + 9) = 0$$. Da $$(x + 3) = 0$$ otteniamo una radice reale $$x = -3$$, mentre le radici dell'equazione $$x^2 - 3x + 9 = 0$$ sono complesse. Quindi, c'è una radice reale e due radici complesse.

L'equazione $$x^3 - 4x = 0$$ può essere scritta come $$x(x^2 - 4) = 0$$, che si fattorizza ulteriormente come $$x(x - 2)(x + 2) = 0$$. Da qui otteniamo le radici reali $$x = 0$$, $$x = 2$$, e $$x = -2$$. Quindi, ci sono tre radici reali.

L'equazione $$x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = 0$$ ha una radice reale $$x = 2$$ e due radici complesse coniugate trovate con il metodo di Ruffini o la scomposizione del polinomio. Quindi, c'è una radice reale e due radici complesse.

Per risolvere $$\\frac{x}{x-2} - \\frac{2}{x-2} = 0$$, possiamo raccogliere il denominatore comune: $$\\frac{x - 2}{x - 2} = 0$$. Il numeratore diventa zero quando $$x - 2 = 0$$, cioè $$x = 2$$, ma questa soluzione rende il denominatore nullo, quindi non è valida. Quindi non ci sono soluzioni.

Per risolvere $$\\frac{x+1}{x-3} - \\frac{1}{x-3} = 0$$, semplifichiamo raccogliendo il denominatore comune: $$\\frac{x+1 - 1}{x-3} = 0$$, che diventa $$\\frac{x}{x-3} = 0$$. La soluzione è $$x = 0$$, ma $$x = 3$$ rende il denominatore nullo, quindi non ci sono soluzioni.

Per risolvere $$\\frac{2x}{x-4} - \\frac{1}{x-4} = 0$$, raccogliamo il denominatore comune: $$\\frac{2x - 1}{x-4} = 0$$. Il numeratore diventa zero quando $$2x - 1 = 0$$, ovvero $$x = \\frac{1}{2}$$. Tuttavia, questa soluzione non annulla il denominatore. Quindi, la risposta corretta è Nessuna.

Per risolvere $$\\frac{x-1}{x+2} - \\frac{1}{x+2} = 0$$, semplifichiamo raccogliendo il denominatore comune: $$\\frac{x-1 - 1}{x+2} = 0$$, che diventa $$\\frac{x - 2}{x+2} = 0$$. Il numeratore diventa zero quando $$x = 2$$, ma non rende nullo il denominatore. Tuttavia, non ci sono soluzioni valide poiché $$x = -2$$ rende il denominatore nullo.

Per risolvere $$\\frac{x+2}{x-5} - \\frac{2}{x-5} = 0$$, semplifichiamo raccogliendo il denominatore comune: $$\\frac{x + 2 - 2}{x-5} = 0$$, che diventa $$\\frac{x}{x-5} = 0$$. La soluzione è $$x = 0$$, ma $$x = 5$$ rende il denominatore nullo, quindi non ci sono soluzioni.

L'equazione $$\\frac{1}{x^2 - 4x}$$ ha il denominatore nullo per $$x = 0$$ e $$x = 4$$, quindi queste non sono soluzioni valide. Non esistono valori di $$x$$ per cui il denominatore è diverso da zero e per i quali l'equazione ha significato. Quindi la risposta corretta è D.

L'equazione $$\\frac{3}{x^2 - 9}$$ ha il denominatore nullo per $$x = 3$$ e $$x = -3$$. Quindi, l'espressione non è definita per questi valori, il che significa che non ci sono soluzioni per cui l'equazione è valida. La risposta corretta è B.

L'equazione $$\\frac{5}{x^2 - 2x}$$ ha il denominatore nullo per $$x = 0$$ e $$x = 2$$. Questi valori annullano il denominatore, quindi non sono soluzioni accettabili. Di conseguenza, l'equazione non ha soluzioni. La risposta corretta è B.

L'equazione $$\\frac{2}{x^2 - 16}$$ ha il denominatore nullo per $$x = 4$$ e $$x = -4$$. Questi valori annullano il denominatore, quindi l'espressione non è definita per tali valori. Non esistono altre soluzioni per cui l'equazione è valida. La risposta corretta è B.

L'equazione $$\\frac{4}{x^2 - 1}$$ ha il denominatore nullo per $$x = 1$$ e $$x = -1$$. Questo significa che l'espressione non è definita per questi valori e non ci sono altre soluzioni per cui l'equazione sia valida. La risposta corretta è A.

Per risolvere $$4/x = 2/5$$, possiamo incrociare i termini: $$4 \\cdot 5 = 2 \\cdot x$$, che ci dà $$20 = 2x$$. Dividendo entrambi i membri per 2, otteniamo $$x = 10$$.

Per risolvere $$6/x = 3/4$$, possiamo incrociare i termini: $$6 \\cdot 4 = 3 \\cdot x$$, che ci dà $$24 = 3x$$. Dividendo entrambi i membri per 3, otteniamo $$x = 8$$.

Per risolvere $$7/x = 5/6$$, possiamo incrociare i termini: $$7 \\cdot 6 = 5 \\cdot x$$, che ci dà $$42 = 5x$$. Dividendo entrambi i membri per 5, otteniamo $$x = 42/5$$.

Per risolvere $$8/x = 4/9$$, possiamo incrociare i termini: $$8 \\cdot 9 = 4 \\cdot x$$, che ci dà $$72 = 4x$$. Dividendo entrambi i membri per 4, otteniamo $$x = 18$$.

Per risolvere $$9/x = 3/5$$, possiamo incrociare i termini: $$9 \\cdot 5 = 3 \\cdot x$$, che ci dà $$45 = 3x$$. Dividendo entrambi i membri per 3, otteniamo $$x = 27/5$$.

Per risolvere l'equazione $$\\frac{2}{x^2 - 4} = \\frac{1}{x - 2}$$, osserviamo che $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$. Quindi, il denominatore si annulla per $$x = 2$$, il che rende l'equazione indefinita in questo punto. Non ci sono soluzioni valide. La risposta corretta è D.

Per risolvere l'equazione $$\\frac{5}{x^2 - 1} = \\frac{1}{x + 1}$$, osserviamo che $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$. Il denominatore si annulla per $$x = -1$$, quindi l'equazione è indefinita in questo punto. Non ci sono soluzioni valide. La risposta corretta è D.

Per risolvere l'equazione $$\\frac{3}{x^2 - 9} = \\frac{1}{x - 3}$$, osserviamo che $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$. Il denominatore si annulla per $$x = 3$$, rendendo l'equazione indefinita in questo punto. Non ci sono soluzioni valide. La risposta corretta è D.

Per risolvere l'equazione $$\\frac{4}{x^2 - 16} = \\frac{1}{x - 4}$$, osserviamo che $$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$. Il denominatore si annulla per $$x = 4$$, rendendo l'equazione indefinita in questo punto. Non ci sono soluzioni valide. La risposta corretta è D.

Per risolvere l'equazione $$\\frac{2}{x^2 - 1} = \\frac{1}{x - 1}$$, osserviamo che $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$. Il denominatore si annulla per $$x = 1$$, rendendo l'equazione indefinita in questo punto. Non ci sono soluzioni valide. La risposta corretta è D.

Per risolvere $$\\frac{x^2 - 4}{2 - x} = -3$$, semplifichiamo e otteniamo $$x^2 - 4 = -3(2 - x)$$, che diventa $$x^2 + 3x - 10 = 0$$. Tuttavia, $$x = 2$$ rende il denominatore nullo, quindi non è una soluzione valida. Quindi, non ci sono soluzioni. La risposta corretta è A.

Per risolvere $$\\frac{x^2 - 9}{3 - x} = -2$$, possiamo semplificare l'equazione a $$x^2 - 9 = -2(3 - x)$$, che diventa $$x^2 + 2x - 3 = 0$$. Le soluzioni sono $$x = -3$$ e $$x = 1$$. Tuttavia, $$x = 3$$ annulla il denominatore, quindi non è accettabile. La soluzione valida è $$x = -3$$. La risposta corretta è B.

Per risolvere $$\\frac{x^2 - 1}{x - 2} = 2$$, otteniamo $$x^2 - 1 = 2(x - 2)$$, che diventa $$x^2 - 2x + 3 = 0$$. Questo ha due soluzioni reali distinte. La risposta corretta è A.

Per risolvere $$\\frac{x^2 - 1}{2 - x} = 1$$, possiamo risolvere $$x^2 - 1 = (2 - x)$$, che dà $$x^2 + x - 3 = 0$$. Tuttavia, $$x = 2$$ annulla il denominatore, quindi non è una soluzione valida. La risposta corretta è D.

Per risolvere $$\\frac{x^2 - 5x + 6}{3 - x} = -2$$, possiamo risolvere $$x^2 - 5x + 6 = -2(3 - x)$$, che diventa $$x^2 - 3x - 6 = 0$$. Questa equazione ha due soluzioni reali distinte. La risposta corretta è C.

Sostituiamo $$x = -1$$ nell'equazione: $$(-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1) = k$$, che diventa $$-1 + 2 - 3 = -2$$. La soluzione è $$k = 6$$.

Sostituiamo $$x = 2$$ nell'equazione: $$2^3 - 2^2 + 2 \\cdot 2 = k$$, che diventa $$8 - 4 + 4 = 8$$. La soluzione è $$k = 10$$.

Sostituiamo $$x = -3$$ nell'equazione: $$(-3)^3 + (-3)^2 - 2(-3) = k$$, che diventa $$-27 + 9 + 6 = -24$$. La soluzione è $$k = -24$$.

Sostituiamo $$x = 1$$ nell'equazione: $$1^3 - 3 \\cdot 1 + 2 = k$$, che diventa $$1 - 3 + 2 = 0$$. La soluzione è $$k = 0$$.

Sostituiamo $$x = -2$$ nell'equazione: $$(-2)^3 + 4(-2)^2 + 4(-2) = k$$, che diventa $$-8 + 16 - 8 = 16$$. La soluzione è $$k = 16$$.

Sostituiamo $$x = 1$$ nell'equazione: $$1 - 3 = 2(1) + 5k - 4$$, che diventa $$-2 = 2 + 5k - 4$$. Semplificando, otteniamo $$5k = -1$$, quindi $$k = -1$$.

Sostituiamo $$x = 0$$ nell'equazione: $$0 + 1 = 3(0) - 2 + 4k$$, che diventa $$1 = -2 + 4k$$. Aggiungendo 2 a entrambi i membri otteniamo $$3 = 4k$$, quindi $$k = -1/2$$.

Sostituiamo $$x = -1$$ nell'equazione: $$2(-1) + 5 = 3(-1) - k$$, che diventa $$-2 + 5 = -3 - k$$. Questo si semplifica a $$3 = -k$$, quindi $$k = -3$$.

Sostituiamo $$x = -2$$ nell'equazione: $$3(-2) - 2 = 4(-2) - k + 1$$, che diventa $$-6 - 2 = -8 - k + 1$$. Semplificando, otteniamo $$-8 = -7 - k$$, quindi $$k = 5$$.

Sostituiamo $$x = 2$$ nell'equazione: $$2 - 4 = 2(2) + 3k$$, che diventa $$-2 = 4 + 3k$$. Sottraendo 4 da entrambi i membri otteniamo $$-6 = 3k$$, quindi $$k = -1$$.

Sostituiamo $$x = 2$$ nell'equazione: $$3(2) + 2 = 5(2) - 2k$$, che diventa $$6 + 2 = 10 - 2k$$. Semplificando, otteniamo $$8 = 10 - 2k$$, quindi $$2k = 2$$ e $$k = 1$$.

Sostituiamo $$x = -1$$ nell'equazione: $$4(-1) - 3 = 2(-1) + k$$, che diventa $$-4 - 3 = -2 + k$$. Questo si semplifica a $$-7 = -2 + k$$, quindi $$k = -5$$.

Sostituiamo $$x = 3$$ nell'equazione: $$2(3) + k = 3 - 5$$, che diventa $$6 + k = -2$$. Sottraendo 6 da entrambi i membri, otteniamo $$k = -8$$.

Sostituiamo $$x = 0$$ nell'equazione: $$0 + 3 = 2(0) + k$$, che diventa $$3 = k$$. Tuttavia, dobbiamo sottrarre 3 per trovare il valore di $$k$$, quindi la soluzione è $$k = -3$$.

Sostituiamo $$x = 1$$ nell'equazione: $$3(1) - k = 1 + 4$$, che diventa $$3 - k = 5$$. Sottraendo 3 da entrambi i membri otteniamo $$-k = 2$$, quindi $$k = 3$$.

Dato che $$x_1 = -1$$ è una soluzione dell'equazione quadratica, possiamo usare la formula della somma delle radici $$x_1 + x_2 = -b/a$$. Qui, $$a = 2$$ e $$b = k - 3$$. Sostituendo otteniamo: $$-1 + x_2 = -(k - 3)/2$$. Risolvendo per $$k = 0$$, otteniamo $$x_2 = 2$$.

Dato che $$x_1 = 1$$, possiamo usare la formula della somma delle radici: $$x_1 + x_2 = -b/a$$, con $$a = 1$$ e $$b = 2k + 1$$. Sostituendo otteniamo $$1 + x_2 = -2k - 1$$. Per $$k = -1$$, risolviamo $$x_2 = -3$$.

Usiamo la somma delle radici: $$x_1 + x_2 = -b/a$$. Qui $$a = 3$$ e $$b = 4k - 5$$. Con $$x_1 = -2$$, otteniamo $$-2 + x_2 = -(4k - 5)/3$$. Per $$k = 0$$, risolviamo e otteniamo $$x_2 = -3$$.

Dato che $$x_1 = 2$$, usiamo la somma delle radici: $$x_1 + x_2 = -b/a$$, con $$a = 1$$ e $$b = 3k - 1$$. Sostituendo otteniamo $$2 + x_2 = -3k + 1$$. Per $$k = 0$$, risolviamo e otteniamo $$x_2 = 4$$.

Utilizziamo la somma delle radici: $$x_1 + x_2 = -b/a$$. Qui $$a = 4$$ e $$b = k - 4$$. Con $$x_1 = -1$$, otteniamo $$-1 + x_2 = -(k - 4)/4$$. Per $$k = 0$$, risolviamo e otteniamo $$x_2 = 2$$.

L'equazione $$x^2 + kx + 1 = 0$$ ha soluzioni reali se il discriminante $$\\Delta = k^2 - 4 \\cdot 1$$ è maggiore o uguale a zero. Poiché il termine quadratico è sempre positivo, ammette soluzioni per ogni valore di $$k$$.

L'equazione $$x^2 - kx + 2 = 0$$ ha soluzioni reali se il discriminante $$\\Delta = k^2 - 8$$ è maggiore o uguale a zero. Essendo una parabola con concavità verso l'alto, ammette soluzioni reali per ogni valore di $$k$$.

L'equazione $$x^2 - 2kx + k^2 - 3 = 0$$ ha soluzioni reali se il discriminante $$\\Delta = (2k)^2 - 4(k^2 - 3)$$ è maggiore o uguale a zero. Poiché il discriminante risulta sempre positivo, l'equazione ha soluzioni reali per ogni valore di $$k$$.

L'equazione $$x^2 + kx + k = 0$$ ammette soluzioni reali se il discriminante $$\\Delta = k^2 - 4k$$ è maggiore o uguale a zero. Poiché $$k
eq 0$$ è una condizione sufficiente, ammette soluzioni reali per ogni $$k$$ diverso da zero.

L'equazione $$x^2 - k^2x + 4 = 0$$ ha soluzioni reali se il discriminante $$\\Delta = (k^2)^2 - 16$$ è maggiore o uguale a zero. Dato che il discriminante risulta positivo per ogni $$k$$, l'equazione ammette soluzioni reali per ogni valore di $$k$$.

Scomponiamo 27 come una potenza di 3: $$27 = 3^3$$. L'equazione diventa quindi $$3^{x+1} = 3^3$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$x + 1 = 3$$, da cui otteniamo $$x = 2$$.

Scomponiamo 125 come una potenza di 5: $$125 = 5^3$$. L'equazione diventa quindi $$5^{x-2} = 5^3$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$x - 2 = 3$$, da cui otteniamo $$x = 5$$.

Scomponiamo 64 come una potenza di 2: $$64 = 2^6$$. L'equazione diventa quindi $$2^{2x} = 2^6$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$2x = 6$$, da cui otteniamo $$x = 3$$.

Scomponiamo 16 come una potenza di 4: $$16 = 4^2$$. L'equazione diventa quindi $$4^{x-1} = 4^2$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$x - 1 = 2$$, da cui otteniamo $$x = 3$$.

Scomponiamo 128 come una potenza di 2: $$128 = 2^7$$. L'equazione diventa quindi $$2^{x+2} = 2^7$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$x + 2 = 7$$, da cui otteniamo $$x = 5$$.

Scomponiamo 81 come una potenza di 3: $$81 = 3^4$$. L'equazione diventa quindi $$3^{2x} = 3^4$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$2x = 4$$, da cui otteniamo $$x = 2$$.

Scomponiamo 25 come una potenza di 5: $$25 = 5^2$$. L'equazione diventa quindi $$5^{x-1} = 5^2$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$x - 1 = 2$$, da cui otteniamo $$x = 3$$.

Scomponiamo 16 come una potenza di 2: $$16 = 2^4$$. L'equazione diventa quindi $$2^{3x} = 2^4$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$3x = 4$$, da cui otteniamo $$x = 4/3$$.

Scomponiamo 64 come una potenza di 4: $$64 = 4^3$$. L'equazione diventa quindi $$4^{x} = 4^3$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$x = 3$$.

Scomponiamo 32 come una potenza di 2: $$32 = 2^5$$. L'equazione diventa quindi $$2^{x+2} = 2^5$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$x + 2 = 5$$, da cui otteniamo $$x = 3$$.

Scomponiamo 27 come una potenza di 3: $$27 = 3^3$$. L'equazione diventa quindi $$3^{2x-1} = 3^3$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$2x - 1 = 3$$. Risolvendo, otteniamo $$2x = 4$$ e quindi $$x = 2$$.

Scomponiamo 125 come una potenza di 5: $$125 = 5^3$$. L'equazione diventa quindi $$5^{x+1} = 5^3$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$x + 1 = 3$$. Risolvendo, otteniamo $$x = 2$$.

Scomponiamo 64 come una potenza di 2: $$64 = 2^6$$. L'equazione diventa quindi $$2^{3x} = 2^6$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$3x = 6$$. Risolvendo, otteniamo $$x = 2$$.

Scomponiamo 16 come una potenza di 4: $$16 = 4^2$$. L'equazione diventa quindi $$4^{2x-2} = 4^2$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$2x - 2 = 2$$. Risolvendo, otteniamo $$2x = 4$$ e quindi $$x = 2$$.

Scomponiamo 49 come una potenza di 7: $$49 = 7^2$$. L'equazione diventa quindi $$7^{x-1} = 7^2$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$x - 1 = 2$$. Risolvendo, otteniamo $$x = 3$$.

Scomponiamo 9 come una potenza di 3: $$9 = 3^2$$. L'equazione diventa quindi $$3^{2x-1} = 3^2$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$2x - 1 = 2$$. Risolvendo, otteniamo $$2x = 3$$ e quindi $$x = 3/2$$.

Scomponiamo 25 come una potenza di 5: $$25 = 5^2$$. L'equazione diventa quindi $$5^{x+1} = 5^2$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$x + 1 = 2$$. Risolvendo, otteniamo $$x = 1$$.

Scomponiamo 16 come una potenza di 2: $$16 = 2^4$$. L'equazione diventa quindi $$2^{3x} = 2^4$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$3x = 4$$. Risolvendo, otteniamo $$x = 4/3$$.

Scomponiamo 4 come potenza di 2: $$4 = 2^2$$, quindi l'equazione diventa $$2^{2(x-2)} = 2$$, ovvero $$2^{2x-4} = 2^1$$. Uguagliando gli esponenti, otteniamo $$2x - 4 = 1$$, da cui $$x = 3/2$$.

Scomponiamo 49 come potenza di 7: $$49 = 7^2$$. L'equazione diventa quindi $$7^{x-1} = 7^2$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$x - 1 = 2$$. Risolvendo, otteniamo $$x = 3$$.

Scomponiamo 8 come una potenza di 2: $$8 = 2^3$$. L'equazione diventa quindi $$2^{x/3 + 1} = 2^3$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$x/3 + 1 = 3$$. Risolvendo, otteniamo $$x/3 = 2$$, quindi $$x = 6$$.

Scomponiamo 1 come una potenza di 4: $$1 = 4^0$$. L'equazione diventa quindi $$4^{x/2 - 2} = 4^0$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$x/2 - 2 = 0$$. Risolvendo, otteniamo $$x/2 = 2$$, quindi $$x = 4$$.

Scomponiamo 9 come una potenza di 3: $$9 = 3^2$$. L'equazione diventa quindi $$3^{x/2} = 3^2$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$x/2 = 2$$. Risolvendo, otteniamo $$x = 4$$.

Scomponiamo 25 come una potenza di 5: $$25 = 5^2$$. L'equazione diventa quindi $$5^{x/2} = 5^2$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$x/2 = 2$$. Risolvendo, otteniamo $$x = 4$$.

Scomponiamo 1 come una potenza di 7: $$1 = 7^0$$. L'equazione diventa quindi $$7^{x/2 - 1} = 7^0$$. Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti: $$x/2 - 1 = 0$$. Risolvendo, otteniamo $$x/2 = 1$$, quindi $$x = 2$$.

Scomponiamo 81 come una potenza di 3: $$81 = 3^4$$. L'equazione diventa quindi $$3^{x^2} = 3^4$$, che implica $$x^2 = 4$$. Le soluzioni sono $$x = +2$$ e $$x = -2$$. L'insieme delle soluzioni è $$\\{-2; +2\\}$$.

Scomponiamo 125 come una potenza di 5: $$125 = 5^3$$. L'equazione diventa quindi $$5^{x^2} = 5^3$$, che implica $$x^2 = 3$$. Le soluzioni sono $$x = +\\sqrt{3}$$ e $$x = -\\sqrt{3}$$. L'insieme delle soluzioni è $$\\{\\pm\\sqrt{\\log_5{125}}\\}$$.

Scomponiamo 16 come una potenza di 4: $$16 = 4^2$$. L'equazione diventa quindi $$4^{x^2} = 4^2$$, che implica $$x^2 = 2$$. Le soluzioni sono $$x = +\\sqrt{2}$$ e $$x = -\\sqrt{2}$$. L'insieme delle soluzioni è $$\\{\\pm\\sqrt{\\log_4{16}}\\}$$.

Scomponiamo 8 come una potenza di 2: $$8 = 2^3$$. L'equazione diventa quindi $$2^{x^2} = 2^3$$, che implica $$x^2 = 3$$. Le soluzioni sono $$x = +\\sqrt{3}$$ e $$x = -\\sqrt{3}$$. L'insieme delle soluzioni è $$\\{\\pm\\sqrt{\\log_2{8}}\\}$$.