Se $$a = -b$$, allora $$\cos(a) = \cos(b)$$ poiché la funzione coseno è una funzione pari, ovvero $$\cos(-x) = \cos(x)$$ per qualsiasi valore di $$x$$.

Se $$x = -z$$, allora $$x + z = 0$$, poiché $$x$$ e $$z$$ sono opposti e la loro somma è sempre zero.

Se $$m = -n$$, allora $$m + n = 0$$, poiché $$m$$ e $$n$$ sono opposti e la loro somma è sempre zero.

Se $$p = -q$$, allora $$p^2 = q^2$$, poiché elevando al quadrato due numeri opposti si ottiene sempre lo stesso risultato positivo.

Se $$r = -s$$, allora $$r + s = 0$$, poiché $$r$$ e $$s$$ sono opposti e la loro somma è sempre zero.

La funzione $$\cos(x/3)$$ è periodica con periodo $$2\pi / (1/3) = 6\pi$$, quindi ha periodo $$2\pi$$.

La funzione $$\sin(2x)$$ è periodica con periodo $$2\pi / 2 = \pi$$, quindi non ha un periodo di $$\pi/2$$.

La funzione $$\cos(5x)$$ è periodica con periodo $$2\pi / 5$$, quindi il suo periodo rimane $$2\pi$$.

La funzione $$\sin(x/4)$$ è periodica con periodo $$2\pi / (1/4) = 8\pi$$, quindi ha periodo $$16\pi$$.

La funzione $$\cos(3x/2)$$ è periodica con periodo $$2\pi / (3/2) = 4\pi/3$$, quindi ha periodo $$2\pi$$.

La funzione $$y = \sin(2x) \cos(x)$$ ha periodo pari al minimo comune multiplo dei periodi delle funzioni trigonometriche componenti, che è $$\pi$$.

La funzione $$y = \cos(3x) \sin(x)$$ non è periodica, in quanto il minimo comune multiplo dei periodi delle componenti non esiste.

La funzione $$y = \sin(x) \cos(4x)$$ ha periodo pari al minimo comune multiplo dei periodi delle componenti, che è $$\pi$$.

La funzione $$y = \cos(2x) \cos(x)$$ ha periodo pari al minimo comune multiplo dei periodi delle componenti, che è $$3\pi/2$$.

La funzione $$y = \sin(3x) \sin(x)$$ è periodica di periodo $$2\pi$$.

La relazione $$\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$$ è una delle identità trigonometriche fondamentali per il seno dell'angolo doppio.

La definizione della tangente è data da $$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$, quindi questa relazione è vera per ogni valore di $$\alpha$$.

$$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$ è una delle identità trigonometriche più importanti.

L'identità fondamentale della secante è $$\sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)}$$.

La relazione $$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$ è una delle identità fondamentali delle funzioni trigonometriche.

Utilizziamo l'identità trigonometrica fondamentale $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$. Dato $$\cos x = 0,7$$, abbiamo $$\sin x = \sqrt{1 - (0,7)^2} = 0,714$$.

Utilizziamo l'identità trigonometrica fondamentale $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$. Dato $$\cos x = 0,5$$, abbiamo $$\sin x = \sqrt{1 - (0,5)^2} = 0,866$$.

Utilizziamo l'identità trigonometrica fondamentale $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$. Dato $$\cos x = 0,8$$, abbiamo $$\sin x = \sqrt{1 - (0,8)^2} = 0,6$$.

Utilizziamo l'identità trigonometrica fondamentale $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$. Dato $$\cos x = 0,3$$, abbiamo $$\sin x = \sqrt{1 - (0,3)^2} = 0,954$$.

Utilizziamo l'identità trigonometrica fondamentale $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$. Dato $$\cos x = 0,4$$, abbiamo $$\sin x = \sqrt{1 - (0,4)^2} = 0,916$$.

Per risolvere $$\sin(a) - \cos(a) = 0$$, possiamo scrivere $$\sin(a) = \cos(a)$$. Questo accade quando $$a = 45° + k \cdot 180°$$ con $$k$$ intero. Il valore compreso tra le opzioni è $$45°$$.

$$ an(b) = 1$$ si verifica per $$b = 45° + k \cdot 180°$$ con $$k$$ intero. Il valore compreso tra le opzioni è $$45°$$.

$$\sin(2c) = 0$$ si verifica per $$2c = k \cdot 180°$$ con $$k$$ intero. I valori di $$c$$ compresi tra le opzioni sono $$0°$$ e $$180°$$.

$$\cos(d) = \sin(d)$$ si verifica per $$d = 45° + k \cdot 180°$$ con $$k$$ intero. Il valore compreso tra le opzioni è $$135°$$.

$$\cos(2e) + \sin(2e) = 0$$ si verifica per $$2e = 45° + k \cdot 180°$$ con $$k$$ intero. Il valore compreso tra le opzioni è $$30°$$.

La tangente di 225° è uguale a -1 poiché si trova nel terzo quadrante, dove sia il seno che il coseno sono negativi e il loro rapporto risulta pari a 1.

La tangente di 135° è uguale a 1 poiché si trova nel secondo quadrante, dove il seno è positivo e il coseno è negativo, risultando in un valore di -1.

La tangente di 30° è uguale a $$\sqrt{3}/3$$. Questo valore è determinato dal rapporto tra il seno e il coseno di 30°.

La tangente di 120° è uguale a $$-\sqrt{3}$$ poiché si trova nel secondo quadrante, dove il seno è positivo e il coseno è negativo, risultando in un valore negativo.

La tangente di 210° è uguale a -0.58 poiché si trova nel terzo quadrante, dove sia il seno che il coseno sono negativi, e il rapporto risulta in un valore positivo.

Per calcolare $$\sin 60^\circ - \cos 30^\circ$$, notiamo che $$\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \sqrt{3}/2$$. Quindi, il risultato è $$0$$.

$$\tan 45^\circ = 1$$ e $$\cos 60^\circ = 1/2$$. Quindi, $$1 + 1/2 = 1$$.

$$\sin 90^\circ = 1$$ e $$\cos 0^\circ = 1$$. Quindi, $$1 - 1 = 0$$.

$$\tan 30^\circ = \sqrt{3}/3$$ e $$\sin 45^\circ = \sqrt{2}/2$$. Quindi, la somma è $$\sqrt{3}/3 + \sqrt{2}/2$$.

$$\cos 90^\circ = 0$$ e $$\sin 30^\circ = 1/2$$. Quindi, $$0 - 1/2 = -1/2$$.

L'espressione $$(\cos(2x))/2$$ è equivalente a $$2\cos^2(x) - 1$$ usando l'identità di duplicazione del coseno.

L'espressione $$(\sin(x) \cdot \cos(x))/2$$ è uguale a $$\cos(2x)$$ in quanto è una forma semplificata dell'identità di angolo doppio.

L'espressione $$2\sin(x)\cos(x)$$ è l'identità per $$\sin(2x)$$, perciò il risultato corretto è $$\sin(2x)$$.

L'espressione $$\cos^2(x) - \sin^2(x)$$ è equivalente a $$1 - 2\sin^2(x)$$ per la proprietà delle identità trigonometriche.

L'espressione $$1 - 2\sin^2(x)$$ è uguale a $$2\cos^2(x) - 1$$ usando la relazione di identità trigonometrica.

L'equazione $$\sin x + \cos x = 1$$ ha due soluzioni nell'intervallo $$[0, 2\pi]$$, corrispondenti agli angoli per i quali la somma dei valori delle funzioni trigonometriche è uguale a $$1$$.

L'equazione $$\sin 2x = 0$$ ha otto soluzioni nell'intervallo $$[0, 2\pi]$$, corrispondenti agli zeri della funzione $$\sin 2x$$.

L'equazione $$\cos x - \sin x = 0$$ ha due soluzioni nell'intervallo $$[0, 2\pi]$$, corrispondenti agli angoli per i quali il seno e il coseno sono uguali.

L'equazione $$ an x = 1$$ ha quattro soluzioni nell'intervallo $$[0, 2\pi]$$, corrispondenti agli angoli per i quali la tangente è uguale a $$1$$.

L'equazione $$\sin x \cdot \cos x = 0$$ ha quattro soluzioni nell'intervallo $$[0, 2\pi]$$, corrispondenti agli zeri del prodotto delle due funzioni trigonometriche.

Per l'equazione $$ \cos(x) - 1 = 0 $$, le soluzioni sono per $$ x = 0 + 2k\pi $$, che significa che ci sono soluzioni periodiche in multipli di $$ 2\pi $$.

Per l'equazione $$ \tan(x) = 0 $$, le soluzioni si trovano a $$ x = k\pi $$, dove $$ k $$ è un numero intero. Pertanto, ci sono due soluzioni nel periodo da $$ 0 $$ a $$ 2\pi $$.

L'equazione $$ \sin(x) + \frac{1}{2} = 0 $$ non ha soluzioni reali, poiché il valore massimo della funzione seno è $$ 1 $$ e il minimo è $$ -1 $$.

L'equazione $$ \cos(2x) = 0 $$ ha soluzioni per $$ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $$, dove $$ k $$ è un numero intero.

Per l'equazione $$ \sin(3x) = 1 $$, la soluzione è $$ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi $$, con $$ k $$ intero.

Per risolvere l'equazione $$\cos x = \frac{1}{2}$$, le soluzioni possibili nell'intervallo $$[0°, 360°]$$ sono $$x = 60°$$ e $$x = 300°$$. Tra le opzioni fornite, la risposta corretta è $$30°$$.

Per risolvere l'equazione $$2 \sin x = \sqrt{3}$$, dividiamo entrambi i lati per 2 per ottenere $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Le soluzioni nell'intervallo $$[0°, 360°]$$ sono $$x = 60°$$ e $$x = 120°$$. La risposta corretta è $$60°$$.

Per risolvere l'equazione $$\tan x = 1$$, le soluzioni nell'intervallo $$[0°, 360°]$$ sono $$x = 45°$$ e $$x = 225°$$. Tra le opzioni fornite, la risposta corretta è $$45°$$.

Per risolvere l'equazione $$\sin 2x = 0$$, dobbiamo trovare i valori per i quali $$2x = k\pi$$, dove $$k$$ è un numero intero. Le soluzioni nell'intervallo $$[0°, 360°]$$ sono $$x = 0°, 90°, 180°, 270°$$. La risposta corretta è $$0°$$.

Per risolvere l'equazione $$\cos 3x = -1$$, troviamo che $$3x = 180° + k\cdot 360°$$, dove $$k$$ è un numero intero. Quindi $$x = 60°$$. La risposta corretta è $$60°$$.

Il valore massimo della funzione coseno è 1, quindi l'equazione $$\cos x = 3$$ non ha soluzioni reali.

Il valore massimo della funzione seno è 1, quindi l'equazione $$\sin x = 2$$ non ha soluzioni reali.

La funzione tangente assume valori reali per ogni $$x$$, ma non può essere uguale a 5 poiché il valore massimo è 1.

Il valore della funzione coseno varia tra -1 e 1, quindi l'equazione $$\cos x = -1.5$$ non ha soluzioni reali.

Il valore minimo della funzione seno è -1, quindi l'equazione $$\sin x = -2$$ non ha soluzioni reali.

Per risolvere l'equazione $$\sin(x) + \log(x) = 0$$, bisogna notare che il termine logaritmico $$\log(x)$$ non è definito per valori non positivi di $$x$$ e che $$\sin(x)$$ è una funzione periodica. L'equazione non ha soluzioni reali perché il valore della funzione $$\sin(x)$$ non può bilanciare un valore logaritmico positivo o negativo in modo da risultare in zero.

L'equazione $$|\cos(x)| + \log_3(x) = 0$$ ha due soluzioni reali di segno opposto. Questo perché il valore assoluto di $$\cos(x)$$ può bilanciare il logaritmo per due valori di $$x$$, uno positivo e uno negativo.

Per risolvere l'equazione $$\tan(x) + \log_2(x) = 0$$, si nota che la tangente è una funzione periodica con asintoti verticali, e il logaritmo richiede che $$x > 0$$. Quindi l'equazione ha due soluzioni reali di segno opposto.

L'equazione $$|\sin(x)| - \log(x) = 0$$ ha infinite soluzioni reali perché il valore assoluto di $$\sin(x)$$ può bilanciare il logaritmo per una quantità infinita di valori di $$x$$ positivi.

L'equazione $$\cos(x) + \log_5(x) = 0$$ ha una soluzione reale perché il coseno può essere negativo, bilanciando così il logaritmo positivo.

Per risolvere la disequazione $$2 \cos^2(x) - \sin(x) - 1 \geq 0$$, possiamo applicare le identità trigonometriche. La soluzione corretta è $$x = \frac{\pi}{2}$$, poiché soddisfa la condizione data.

La disequazione $$\sin^2(x) - \cos(x) \geq 0$$ è verificata per l'intervallo $$0 < x < \frac{\pi}{2}$$, in quanto in questo intervallo il seno è crescente e il coseno è decrescente.

Per risolvere $$\cos(x) - 2\sin^2(x) + 1 < 0$$, possiamo riscrivere la disequazione usando l'identità $$\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$$. La soluzione si trova per $$\frac{\pi}{2} < x < \pi$$.

La disequazione $$\tan(x) \cdot \cos(x) - 1 \leq 0$$ ha soluzioni per $$0 < x < \frac{\pi}{2}$$. In questo intervallo, il prodotto è minore o uguale a zero.

La disequazione $$3 \sin(x) - 2 \cos^2(x) \geq 0$$ è verificata per ogni $$x$$, poiché la somma di seno e coseno è sempre positiva nell'intervallo considerato.

Nel triangolo rettangolo, il cateto opposto all'angolo $$\alpha$$ rispetto all'ipotenusa $$c$$ è dato dalla relazione $$\sin\alpha = a/c$$.

Il cateto opposto all'angolo $$\alpha$$ è $$a$$, mentre $$b$$ è adiacente a $$\alpha$$. La relazione corretta è $$\sin\alpha = a/b$$.

Per definizione, la tangente di un angolo è data dal rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente: $$\tan\alpha = a/b$$.

Il cateto opposto all'angolo $$\alpha$$ è $$a$$, quindi la tangente di $$\alpha$$ è data da $$\tan\alpha = a/b$$.

La relazione corretta è $$\sin\beta = a/b$$, poiché $$b$$ è il cateto opposto all'angolo $$\beta$$ rispetto all'ipotenusa $$c$$.

L'area di un triangolo è data dalla formula: $$A = \frac{1}{2}ab\sin(C)$$. In questo caso $$a = 3\ cm$$ $$b = 4\ cm$$ $$C = 90^\circ$$. Quindi $$A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin(90^\circ) = 6\ cm^2$$.

L'area di un triangolo è data dalla formula: $$A = \frac{1}{2}ab\sin(C)$$. In questo caso $$a = 5\ cm$$ $$b = 6\ cm$$ $$C = 30^\circ$$. Quindi $$A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ) = 7.5\ cm^2$$.

L'area di un triangolo è data dalla formula: $$A = \frac{1}{2}ab\sin(C)$$. In questo caso $$a = 7\ cm$$ $$b = 8\ cm$$ $$C = 45^\circ$$. Quindi $$A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin(45^\circ) = 19.8\ cm^2$$.

L'area di un triangolo è data dalla formula: $$A = \frac{1}{2}ab\sin(C)$$. In questo caso $$a = 10\ cm$$ $$b = 12\ cm$$ $$C = 60^\circ$$. Quindi $$A = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin(60^\circ) = 51.96\ cm^2$$.

L'area di un triangolo è data dalla formula: $$A = \frac{1}{2}ab\sin(C)$$. In questo caso $$a = 9\ cm$$ $$b = 12\ cm$$ $$C = 120^\circ$$. Quindi $$A = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 \cdot \sin(120^\circ) = 46.77\ cm^2$$.