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K5 Test
1 / 139
Dei seguenti sistemi lineari uno solo è indeterminato (ha infinite soluzioni). Quale di essi?
Il sistema $$y = 3x - 1$$ e $$x + y = 2$$ non ha soluzioni infinite poiché le equazioni non sono proporzionali. Invece, l'unico sistema indeterminato è quello con $$x - 2y = 0$$ e $$2x - 4y = 0$$ poiché le equazioni sono proporzionali. Quindi l'alternativa corretta è C.
Success!
off
2 / 139
Nel sistema $$x - y = 3$$ e $$2x + 2y = 6$$, le equazioni sono proporzionali e quindi ha infinite soluzioni. Quindi l'alternativa corretta è B.
3 / 139
Nel sistema $$x + y = 3$$ e $$3x + 3y = 9$$, le equazioni sono proporzionali e quindi ha infinite soluzioni. Quindi l'alternativa corretta è C.
4 / 139
Nel sistema $$x - y = -3$$ e $$y = 2x + 3$$, le equazioni sono proporzionali e quindi ha infinite soluzioni. Quindi l'alternativa corretta è B.
5 / 139
Nel sistema $$y = 3x - 1$$ e $$x = 2y + 2$$, le equazioni sono proporzionali e quindi ha infinite soluzioni. Quindi l'alternativa corretta è B.
6 / 139
Quale tra i seguenti sistemi è indeterminato?
Il sistema $$x - y = 7$$ e $$x + y = -7$$ non ha soluzioni infinite poiché le equazioni non sono proporzionali. Invece, l'unico sistema indeterminato è $$x = 4y$$ e $$2x + 8y = 4$$ poiché le equazioni sono proporzionali. Quindi l'alternativa corretta è C.
7 / 139
Nel sistema $$x = 5y$$ e $$10x = 2y$$, le equazioni sono proporzionali e quindi ha infinite soluzioni. Quindi l'alternativa corretta è B.
8 / 139
Nel sistema $$x = 4y$$ e $$2x + 8y = 4$$, le equazioni sono proporzionali e quindi ha infinite soluzioni. Quindi l'alternativa corretta è C.
9 / 139
Nel sistema $$x + y = 4$$ e $$2x - 2y = 8$$, le equazioni sono proporzionali e quindi ha infinite soluzioni. Quindi l'alternativa corretta è D.
10 / 139
Nel sistema $$x + y = 6$$ e $$2x + 2y = 12$$, le equazioni sono proporzionali e quindi ha infinite soluzioni. Quindi l'alternativa corretta è C.
11 / 139
Risolvi il seguente sistema: $$\begin{cases} 2x + y = 4 \ x - y = 2 \end{cases}$$
Risolvendo il sistema $$2x + y = 4$$ e $$x - y = 2$$, otteniamo $$x = 1$$ e $$y = 2$$. Quindi, l'alternativa corretta è A.
12 / 139
Risolvi il seguente sistema: $$\begin{cases} x + 2y = 5 \ 2x - y = 1 \end{cases}$$
Risolvendo il sistema $$x + 2y = 5$$ e $$2x - y = 1$$, otteniamo $$x = 2$$ e $$y = 1$$. Quindi, l'alternativa corretta è B.
13 / 139
Risolvi il seguente sistema: $$\begin{cases} 3x - y = 7 \ 2y + x = 5 \end{cases}$$
Risolvendo il sistema $$3x - y = 7$$ e $$2y + x = 5$$, otteniamo $$x = 3$$ e $$y = 2$$. Quindi, l'alternativa corretta è D.
14 / 139
Risolvi il seguente sistema: $$\begin{cases} 4x + 3y = 12 \ y - x = 3 \end{cases}$$
Risolvendo il sistema $$4x + 3y = 12$$ e $$y - x = 3$$, otteniamo $$x = 2$$ e $$y = 1$$. Quindi, l'alternativa corretta è C.
15 / 139
Risolvi il seguente sistema: $$\begin{cases} 5x - 2y = 6 \ x + y = 3 \end{cases}$$
Risolvendo il sistema $$5x - 2y = 6$$ e $$x + y = 3$$, otteniamo $$x = 3$$ e $$y = 0$$. Quindi, l'alternativa corretta è A.
16 / 139
Quale tra i seguenti sistemi è impossibile?
Nel sistema $$3x + y = 2$$ e $$6x + 2y = 5$$, le equazioni sono proporzionali ma i termini costanti non lo sono, quindi il sistema è impossibile. Quindi l'alternativa corretta è B.
17 / 139
18 / 139
Nel sistema $$2x - 3y = 1$$ e $$4x + 6y = 5$$, le equazioni sono proporzionali ma i termini costanti non lo sono, quindi il sistema è impossibile. Quindi l'alternativa corretta è B.
19 / 139
Nel sistema $$x - 3y = 2$$ e $$2x + 4y = 1$$, le equazioni non sono compatibili, quindi il sistema è impossibile. Quindi l'alternativa corretta è C.
20 / 139
Nel sistema $$2x + y = 0$$ e $$3x + 5y = 2$$, le equazioni non sono compatibili, quindi il sistema è impossibile. Quindi l'alternativa corretta è D.
21 / 139
Per quali valori di $$x$$ e $$y$$ è soddisfatto il sistema: $$\begin{cases} x + y = -10 \ xy \cdot 3 = 15 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} x + y = -10 \ xy \cdot 3 = 15 \end{cases}$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = 5$$ e $$y = -3$$. Quindi, l'alternativa corretta è A.
22 / 139
Per quali valori di $$x$$ e $$y$$ è soddisfatto il sistema: $$\begin{cases} x + y = -8 \ xy \cdot 2 = 16 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} x + y = -8 \ xy \cdot 2 = 16 \end{cases}$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = 4$$ e $$y = -4$$. Quindi, l'alternativa corretta è A.
23 / 139
Per quali valori di $$x$$ e $$y$$ è soddisfatto il sistema: $$\begin{cases} x + y = -5 \ xy \cdot 4 = 20 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} x + y = -5 \ xy \cdot 4 = 20 \end{cases}$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = 1$$ e $$y = -5$$. Quindi, l'alternativa corretta è C.
24 / 139
Per quali valori di $$x$$ e $$y$$ è soddisfatto il sistema: $$\begin{cases} x + y = -6 \ xy \cdot 2 = 18 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} x + y = -6 \ xy \cdot 2 = 18 \end{cases}$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = -3$$ e $$y = -1$$. Quindi, l'alternativa corretta è B.
25 / 139
Per quali valori di $$x$$ e $$y$$ è soddisfatto il sistema: $$\begin{cases} x + y = -3 \ xy \cdot 3 = 9 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} x + y = -3 \ xy \cdot 3 = 9 \end{cases}$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = 1$$ e $$y = -3$$. Quindi, l'alternativa corretta è A.
26 / 139
Per quali valori di $$x$$ e $$y$$ è soddisfatto il sistema: $$\begin{cases} x + y = -7 \ xy = 12 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} x + y = -7 \ xy = 12 \end{cases}$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = 6$$ e $$y = -2$$. Quindi, l'alternativa corretta è A.
27 / 139
Per quali valori di $$x$$ e $$y$$ è soddisfatto il sistema: $$\begin{cases} x + y = -9 \ xy = 18 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} x + y = -9 \ xy = 18 \end{cases}$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = -6$$ e $$y = -3$$. Quindi, l'alternativa corretta è B.
28 / 139
Per quali valori di $$x$$ e $$y$$ è soddisfatto il sistema: $$\begin{cases} x + y = -6 \ xy = 8 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} x + y = -6 \ xy = 8 \end{cases}$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = 2$$ e $$y = -4$$. Quindi, l'alternativa corretta è C.
29 / 139
Per quali valori di $$x$$ e $$y$$ è soddisfatto il sistema: $$\begin{cases} x + y = -4 \ xy = 5 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} x + y = -4 \ xy = 5 \end{cases}$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = 4$$ e $$y = -1$$. Quindi, l'alternativa corretta è A.
30 / 139
Per quali valori di $$x$$ e $$y$$ è soddisfatto il sistema: $$\begin{cases} x + y = -5 \ xy = 6 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} x + y = -5 \ xy = 6 \end{cases}$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = -1$$ e $$y = -6$$. Quindi, l'alternativa corretta è D.
31 / 139
Per quali valori di $$x$$ e $$y$$, $$x + y = -7$$ e $$xy = 12$$?
Per risolvere il sistema $$x + y = -7$$ e $$xy = 12$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = -4$$ e $$y = -3$$. Quindi, l'alternativa corretta è A.
32 / 139
Per quali valori di $$x$$ e $$y$$, $$x + y = -5$$ e $$xy = 6$$?
Per risolvere il sistema $$x + y = -5$$ e $$xy = 6$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = 1$$ e $$y = -6$$. Quindi, l'alternativa corretta è B.
33 / 139
Per quali valori di $$x$$ e $$y$$, $$x + y = 8$$ e $$xy = 15$$?
Per risolvere il sistema $$x + y = 8$$ e $$xy = 15$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = -7$$ e $$y = 5$$. Quindi, l'alternativa corretta è C.
34 / 139
Per quali valori di $$x$$ e $$y$$, $$x + y = -9$$ e $$xy = 20$$?
Per risolvere il sistema $$x + y = -9$$ e $$xy = 20$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = -5$$ e $$y = -4$$. Quindi, l'alternativa corretta è A.
35 / 139
Per quali valori di $$x$$ e $$y$$, $$x + y = -4$$ e $$xy = 3$$?
Per risolvere il sistema $$x + y = -4$$ e $$xy = 3$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = -4$$ e $$y = -1$$. Quindi, l'alternativa corretta è C.
36 / 139
Il sistema $$\begin{cases} 3x^2 + 4y^2 - 25 = 0 \ x - 2y - 3 = 0 \end{cases}$$
Il sistema $$\begin{cases} 3x^2 + 4y^2 - 25 = 0 \ x - 2y - 3 = 0 \end{cases}$$ ha due soluzioni distinte poiché risolvendo l'equazione ellittica e la lineare otteniamo due punti di intersezione. Quindi l'alternativa corretta è C.
37 / 139
Il sistema $$\begin{cases} 5x^2 + 6y^2 - 50 = 0 \ x + y - 2 = 0 \end{cases}$$
Il sistema $$\begin{cases} 5x^2 + 6y^2 - 50 = 0 \ x + y - 2 = 0 \end{cases}$$ non ha soluzioni poiché non ci sono intersezioni tra l'equazione ellittica e la lineare. Quindi l'alternativa corretta è A.
38 / 139
Il sistema $$\begin{cases} 2x^2 + y^2 - 10 = 0 \ x - y + 1 = 0 \end{cases}$$
Il sistema $$\begin{cases} 2x^2 + y^2 - 10 = 0 \ x - y + 1 = 0 \end{cases}$$ ha due soluzioni coincidenti poiché risolvendo otteniamo un solo punto di intersezione. Quindi l'alternativa corretta è C.
39 / 139
Il sistema $$\begin{cases} 4x^2 + y^2 - 20 = 0 \ x + y = 3 \end{cases}$$
Il sistema $$\begin{cases} 4x^2 + y^2 - 20 = 0 \ x + y = 3 \end{cases}$$ ha due soluzioni coincidenti poiché risolvendo otteniamo un solo punto di intersezione. Quindi l'alternativa corretta è C.
40 / 139
Il sistema $$\begin{cases} x^2 + 3y^2 - 9 = 0 \ x + y - 1 = 0 \end{cases}$$
Il sistema $$\begin{cases} x^2 + 3y^2 - 9 = 0 \ x + y - 1 = 0 \end{cases}$$ ha infinite soluzioni. Quindi l'alternativa corretta è B.
41 / 139
Il sistema $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \ 2x + 3y = 5 \end{cases}$$ è:
Il sistema $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \ 2x + 3y = 5 \end{cases}$$ è di secondo grado perché la prima equazione contiene termini quadratici ($$x^2$$ e $$y^2$$). Quindi l'alternativa corretta è B.
42 / 139
Il sistema $$\begin{cases} x^3 + y = 1 \ 5x + y^2 = 7 \end{cases}$$ è:
Il sistema $$\begin{cases} x^3 + y = 1 \ 5x + y^2 = 7 \end{cases}$$ è di terzo grado perché la prima equazione contiene un termine cubico ($$x^3$$). Quindi l'alternativa corretta è B.
43 / 139
Il sistema $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \ 3x + 4y = 6 \end{cases}$$ è:
Il sistema $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \ 3x + 4y = 6 \end{cases}$$ è di secondo grado perché la prima equazione contiene termini quadratici ($$x^2$$ e $$y^2$$). Quindi l'alternativa corretta è B.
44 / 139
Il sistema $$\begin{cases} x + y = 0 \ x^3 + y^3 = 8 \end{cases}$$ è:
Il sistema $$\begin{cases} x + y = 0 \ x^3 + y^3 = 8 \end{cases}$$ è di terzo grado perché la seconda equazione contiene termini cubici ($$x^3$$ e $$y^3$$). Quindi l'alternativa corretta è C.
45 / 139
Il sistema $$\begin{cases} x^2 + 2y = 3 \ 4x + y^2 = 4 \end{cases}$$ è:
Il sistema $$\begin{cases} x^2 + 2y = 3 \ 4x + y^2 = 4 \end{cases}$$ è di secondo grado perché entrambe le equazioni contengono termini quadratici. Quindi l'alternativa corretta è B.
46 / 139
Il sistema di equazioni $$\begin{cases} xy = 8 \ x + y = 6 \end{cases}$$ ha per soluzione:
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} xy = 8 \ x + y = 6 \end{cases}$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = 2$$ e $$y = 4$$. Quindi, l'alternativa corretta è A.
47 / 139
Il sistema di equazioni $$\begin{cases} xy = -12 \ x + y = 4 \end{cases}$$ ha per soluzione:
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} xy = -12 \ x + y = 4 \end{cases}$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = 6$$ e $$y = -2$$. Quindi, l'alternativa corretta è B.
48 / 139
Il sistema di equazioni $$\begin{cases} xy = 10 \ x + y = 7 \end{cases}$$ ha per soluzione:
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} xy = 10 \ x + y = 7 \end{cases}$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = 7$$ e $$y = 1$$. Quindi, l'alternativa corretta è C.
49 / 139
Il sistema di equazioni $$\begin{cases} xy = -15 \ x + y = -4 \end{cases}$$ ha per soluzione:
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} xy = -15 \ x + y = -4 \end{cases}$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = 5$$ e $$y = 3$$. Quindi, l'alternativa corretta è D.
50 / 139
Il sistema di equazioni $$\begin{cases} xy = 6 \ x + y = 5 \end{cases}$$ ha per soluzione:
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} xy = 6 \ x + y = 5 \end{cases}$$, risolviamo per $$x$$ e $$y$$. Otteniamo $$x = 3$$ e $$y = 2$$. Quindi, l'alternativa corretta è A.
51 / 139
Trovare due numeri reali $$x$$ e $$y$$ tali che la loro somma sia 5 e il loro prodotto sia 6:
Per risolvere il sistema $$x + y = 5$$ e $$xy = 6$$, possiamo utilizzare l'equazione quadratica: $$x^2 - (somma)x + prodotto = 0$$, che diventa $$x^2 - 5x + 6 = 0$$. Risolvendo otteniamo $$x = 2$$ e $$y = 3$$. Quindi l'alternativa corretta è A.
52 / 139
Trovare due numeri reali $$x$$ e $$y$$ tali che la loro somma sia 4 e il loro prodotto sia 4:
Per risolvere il sistema $$x + y = 4$$ e $$xy = 4$$, possiamo utilizzare l'equazione quadratica: $$x^2 - (somma)x + prodotto = 0$$, che diventa $$x^2 - 4x + 4 = 0$$. Risolvendo otteniamo $$x = 2$$ e $$y = 2$$. Quindi l'alternativa corretta è A.
53 / 139
Trovare due numeri reali $$x$$ e $$y$$ tali che la loro somma sia -3 e il loro prodotto sia 2:
Per risolvere il sistema $$x + y = -3$$ e $$xy = 2$$, possiamo utilizzare l'equazione quadratica: $$x^2 - (somma)x + prodotto = 0$$, che diventa $$x^2 + 3x + 2 = 0$$. Risolvendo otteniamo $$x = -1$$ e $$y = -2$$. Quindi l'alternativa corretta è C.
54 / 139
Trovare due numeri reali $$x$$ e $$y$$ tali che la loro somma sia 7 e il loro prodotto sia 10:
Per risolvere il sistema $$x + y = 7$$ e $$xy = 10$$, possiamo utilizzare l'equazione quadratica: $$x^2 - (somma)x + prodotto = 0$$, che diventa $$x^2 - 7x + 10 = 0$$. Risolvendo otteniamo $$x = 3$$ e $$y = 4$$. Quindi l'alternativa corretta è D.
55 / 139
Trovare due numeri reali $$x$$ e $$y$$ tali che la loro somma sia 6 e il loro prodotto sia 9:
Per risolvere il sistema $$x + y = 6$$ e $$xy = 9$$, possiamo utilizzare l'equazione quadratica: $$x^2 - (somma)x + prodotto = 0$$, che diventa $$x^2 - 6x + 9 = 0$$. Risolvendo otteniamo $$x = 3$$ e $$y = 3$$. Quindi l'alternativa corretta è A.
56 / 139
In un numero di due cifre, la cifra delle unità è il quadruplo di quella delle decine; scambiando l'ordine delle cifre si ottiene un secondo numero che supera di 45 il primo. Qual è il primo numero?
Per risolvere il problema, sia $$x$$ la cifra delle decine e $$4x$$ la cifra delle unità. Il primo numero è $$10x + 4x = 14x$$ e il secondo numero è $$41x$$. Scambiando le cifre otteniamo $$41x - 14x = 45$$. Risolvendo $$27x = 45$$ otteniamo $$x = 1$$. Quindi il primo numero è $$14x = 14$$. La risposta corretta è D.
57 / 139
In un numero di due cifre, la cifra delle unità è 5 volte quella delle decine; scambiando l'ordine delle cifre si ottiene un secondo numero che supera di 63 il primo. Qual è il primo numero?
Per risolvere il problema, sia $$x$$ la cifra delle decine e $$5x$$ la cifra delle unità. Il primo numero è $$10x + 5x = 15x$$ e il secondo numero è $$51x$$. Scambiando le cifre otteniamo $$51x - 15x = 63$$. Risolvendo $$36x = 63$$ otteniamo $$x = 1.75$$. La risposta corretta è C.
58 / 139
In un numero di due cifre, la cifra delle unità è la metà di quella delle decine; scambiando l'ordine delle cifre si ottiene un secondo numero che supera di 27 il primo. Qual è il primo numero?
Per risolvere il problema, sia $$x$$ la cifra delle decine e $$\frac{1}{2}x$$ la cifra delle unità. Il primo numero è $$10x + \frac{1}{2}x$$ e il secondo numero è $$\frac{31}{2}x$$. Scambiando le cifre otteniamo $$\frac{31}{2}x - \frac{10}{2}x = 27$$. La risposta corretta è B.
59 / 139
In un numero di due cifre, la cifra delle unità è uguale a quella delle decine; scambiando l'ordine delle cifre si ottiene un secondo numero che è uguale al primo. Qual è il primo numero?
Per risolvere il problema, sia $$x$$ la cifra delle decine e l'unità. Poiché sono uguali, non cambia nulla scambiando. Il primo numero è $$55$$.
60 / 139
Trovare due numeri reali a e b tali che la loro somma sia 12 e il loro prodotto sia 32.
Abbiamo $$a + b = 12$$ e $$a \cdot b = 32$$. Utilizzando la formula $$x^2 - (a + b)x + ab = 0$$, otteniamo $$x^2 - 12x + 32 = 0$$. Risolvendo l'equazione quadratica otteniamo $$a = 4$$ e $$b = 8$$.
61 / 139
Trovare due numeri reali a e b tali che la loro somma sia 14 e il loro prodotto sia 48.
Abbiamo $$a + b = 14$$ e $$a \cdot b = 48$$. Utilizzando la formula $$x^2 - (a + b)x + ab = 0$$, otteniamo $$x^2 - 14x + 48 = 0$$. Risolvendo l'equazione quadratica otteniamo $$a = 8$$ e $$b = 6$$.
62 / 139
Trovare due numeri reali a e b tali che la loro somma sia 15 e il loro prodotto sia 54.
Abbiamo $$a + b = 15$$ e $$a \cdot b = 54$$. Utilizzando la formula $$x^2 - (a + b)x + ab = 0$$, otteniamo $$x^2 - 15x + 54 = 0$$. Risolvendo l'equazione quadratica otteniamo $$a = 9$$ e $$b = 6$$.
63 / 139
Trovare due numeri reali a e b tali che la loro somma sia 11 e il loro prodotto sia 28.
Abbiamo $$a + b = 11$$ e $$a \cdot b = 28$$. Utilizzando la formula $$x^2 - (a + b)x + ab = 0$$, otteniamo $$x^2 - 11x + 28 = 0$$. Risolvendo l'equazione quadratica otteniamo $$a = 7$$ e $$b = 4$$.
64 / 139
Trovare due numeri reali a e b tali che la loro somma sia 16 e il loro prodotto sia 60.
Abbiamo $$a + b = 16$$ e $$a \cdot b = 60$$. Utilizzando la formula $$x^2 - (a + b)x + ab = 0$$, otteniamo $$x^2 - 16x + 60 = 0$$. Risolvendo l'equazione quadratica otteniamo $$a = 10$$ e $$b = 6$$.
65 / 139
Determinare due numeri sapendo che il minore supera di 8 la metà del maggiore e che la somma dei 3/5 del maggiore e di 1/3 del minore è 20.
Siano $$x$$ il maggiore e $$y$$ il minore. Sappiamo che $$y = \frac{x}{2} + 8$$ e che $$\frac{3}{5}x + \frac{1}{3}y = 20$$. Sostituendo $$y$$ nella seconda equazione si ottiene: $$\frac{3}{5}x + \frac{1}{3}(\frac{x}{2} + 8) = 20$$. Risolvendo l'equazione si ottiene $$x = 12$$ e $$y = 18$$.
66 / 139
Determinare due numeri sapendo che il minore supera di 4 la metà del maggiore e che la somma dei 1/2 del maggiore e di 1/5 del minore è 15.
Siano $$x$$ il maggiore e $$y$$ il minore. Sappiamo che $$y = \frac{x}{2} + 4$$ e che $$\frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y = 15$$. Sostituendo $$y$$ nella seconda equazione si ottiene: $$\frac{1}{2}x + \frac{1}{5}(\frac{x}{2} + 4) = 15$$. Risolvendo si ottiene $$x = 20$$ e $$y = 16$$.
67 / 139
Determinare due numeri sapendo che il minore supera di 7 la metà del maggiore e che la somma dei 3/4 del maggiore e di 1/6 del minore è 18.
Siano $$x$$ il maggiore e $$y$$ il minore. Sappiamo che $$y = \frac{x}{2} + 7$$ e che $$\frac{3}{4}x + \frac{1}{6}y = 18$$. Sostituendo $$y$$ nella seconda equazione si ottiene: $$\frac{3}{4}x + \frac{1}{6}(\frac{x}{2} + 7) = 18$$. Risolvendo si ottiene $$x = 14$$ e $$y = 7$$.
68 / 139
Determinare due numeri sapendo che il minore supera di 5 la metà del maggiore e che la somma dei 2/3 del maggiore e di 1/8 del minore è 14.
Siano $$x$$ il maggiore e $$y$$ il minore. Sappiamo che $$y = \frac{x}{2} + 5$$ e che $$\frac{2}{3}x + \frac{1}{8}y = 14$$. Sostituendo $$y$$ nella seconda equazione si ottiene: $$\frac{2}{3}x + \frac{1}{8}(\frac{x}{2} + 5) = 14$$. Risolvendo si ottiene $$x = 12$$ e $$y = 10$$.
69 / 139
Determinare due numeri sapendo che il minore supera di 10 la metà del maggiore e che la somma dei 1/4 del maggiore e di 1/3 del minore è 16.
Siano $$x$$ il maggiore e $$y$$ il minore. Sappiamo che $$y = \frac{x}{2} + 10$$ e che $$\frac{1}{4}x + \frac{1}{3}y = 16$$. Sostituendo $$y$$ nella seconda equazione si ottiene: $$\frac{1}{4}x + \frac{1}{3}(\frac{x}{2} + 10) = 16$$. Risolvendo si ottiene $$x = 10$$ e $$y = 16$$.
70 / 139
La somma di due numeri interi è uguale a 5 volte la loro differenza e il loro prodotto è 20 volte il loro quoziente. Quali sono i due numeri?
Siano $$x$$ e $$y$$ i due numeri. Abbiamo $$x + y = 5(x - y)$$ e $$x \cdot y = 20 \frac{x}{y}$$. Risolvendo il sistema di equazioni, otteniamo che i due numeri sono $$5$$ e $$3$$.
71 / 139
La somma di due numeri interi è uguale a 4 volte la loro differenza e il loro prodotto è 15 volte il loro quoziente. Quali sono i due numeri?
Siano $$x$$ e $$y$$ i due numeri. Abbiamo $$x + y = 4(x - y)$$ e $$x \cdot y = 15 \frac{x}{y}$$. Risolvendo il sistema di equazioni, otteniamo che i due numeri sono $$8$$ e $$4$$.
72 / 139
La somma di due numeri interi è uguale a 7 volte la loro differenza e il loro prodotto è 10 volte il loro quoziente. Quali sono i due numeri?
Siano $$x$$ e $$y$$ i due numeri. Abbiamo $$x + y = 7(x - y)$$ e $$x \cdot y = 10 \frac{x}{y}$$. Risolvendo il sistema di equazioni, otteniamo che i due numeri sono $$7$$ e $$5$$.
73 / 139
La somma di due numeri interi è uguale a 3 volte la loro differenza e il loro prodotto è 12 volte il loro quoziente. Quali sono i due numeri?
Siano $$x$$ e $$y$$ i due numeri. Abbiamo $$x + y = 3(x - y)$$ e $$x \cdot y = 12 \frac{x}{y}$$. Risolvendo il sistema di equazioni, otteniamo che i due numeri sono $$7$$ e $$5$$.
74 / 139
La somma di due numeri interi è uguale a 8 volte la loro differenza e il loro prodotto è 16 volte il loro quoziente. Quali sono i due numeri?
Siano $$x$$ e $$y$$ i due numeri. Abbiamo $$x + y = 8(x - y)$$ e $$x \cdot y = 16 \frac{x}{y}$$. Risolvendo il sistema di equazioni, otteniamo che i due numeri sono $$12$$ e $$6$$.
75 / 139
Quale fra i seguenti punti soddisfa il sistema $$\begin{cases} x + y \geq 4 \ x > y \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$x + y \geq 4$$ e $$x > y$$, dobbiamo trovare il punto $$P(3, 1)$$. Quindi, l'alternativa corretta è B.
76 / 139
Quale fra i seguenti punti soddisfa il sistema $$\begin{cases} x + y \leq 6 \ x < y \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$x + y \leq 6$$ e $$x < y$$, il punto $$P(2, 3)$$ soddisfa entrambe le condizioni. Quindi, l'alternativa corretta è C.
77 / 139
Quale fra i seguenti punti soddisfa il sistema $$\begin{cases} x + y = 10 \ x \neq y \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$x + y = 10$$ e $$x \neq y$$, il punto $$P(8, 2)$$ è corretto. Quindi, l'alternativa corretta è D.
78 / 139
Quale fra i seguenti punti soddisfa il sistema $$\begin{cases} x - y \geq 1 \ x = y \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$x - y \geq 1$$ e $$x = y$$, il punto $$P(3, 3)$$ è corretto. Quindi, l'alternativa corretta è A.
79 / 139
Quale fra i seguenti punti soddisfa il sistema $$\begin{cases} x + y \leq 0 \ x \geq y \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$x + y \leq 0$$ e $$x \geq y$$, il punto $$P(0, -1)$$ soddisfa il sistema. Quindi, l'alternativa corretta è B.
80 / 139
Da quale condizione è soddisfatto il sistema $$\begin{cases} x - 2 \geq x \ x > 3 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$x - 2 \geq x$$ e $$x > 3$$, otteniamo che $$x$$ deve essere maggiore di 3. Quindi, l'alternativa corretta è A.
81 / 139
Da quale condizione è soddisfatto il sistema $$\begin{cases} x - 1 \leq x \ x < 0 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$x - 1 \leq x$$ e $$x < 0$$, otteniamo che $$x$$ è minore di 0. Quindi, l'alternativa corretta è B.
82 / 139
Da quale condizione è soddisfatto il sistema $$\begin{cases} x + 2 > x \ x > 1 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$x + 2 > x$$ e $$x > 1$$, otteniamo che $$x$$ è maggiore di 1. Quindi, l'alternativa corretta è A.
83 / 139
Da quale condizione è soddisfatto il sistema $$\begin{cases} x - 3 < x \ x \leq 5 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$x - 3 < x$$ e $$x \leq 5$$, otteniamo che $$x$$ è minore o uguale a 5. Quindi, l'alternativa corretta è A.
84 / 139
Da quale condizione è soddisfatto il sistema $$\begin{cases} x + 1 = x \ x \geq 0 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$x + 1 = x$$ e $$x \geq 0$$, vediamo che l'unica soluzione è $$x = 0$$. Quindi, l'alternativa corretta è C.
85 / 139
Indicare tutti i valori di $$x$$ per cui la disequazione $$|x| < x + 2$$ è verificata:
Per risolvere $$|x| < x + 2$$, dobbiamo considerare le due condizioni $$x > 0$$ e $$x < -2$$, ma la soluzione è $$x < 0$$. Quindi, l'alternativa corretta è B.
86 / 139
Indicare tutti i valori di $$x$$ per cui la disequazione $$|x| > 1 - x$$ è verificata:
Per risolvere $$|x| > 1 - x$$, troviamo che la soluzione è $$-1 < x < 1$$. Quindi, l'alternativa corretta è C.
87 / 139
Indicare tutti i valori di $$x$$ per cui la disequazione $$|x - 1| < x + 3$$ è verificata:
Per risolvere $$|x - 1| < x + 3$$, troviamo che $$x > 1$$. Quindi, l'alternativa corretta è A.
88 / 139
Indicare tutti i valori di $$x$$ per cui la disequazione $$|x + 2| \geq x - 1$$ è verificata:
Per risolvere $$|x + 2| \geq x - 1$$, otteniamo che $$x \geq 2$$ è la soluzione. Quindi, l'alternativa corretta è D.
89 / 139
Indicare tutti i valori di $$x$$ per cui la disequazione $$|2x| \leq x + 4$$ è verificata:
Per risolvere $$|2x| \leq x + 4$$, troviamo che $$x = 2$$ soddisfa la condizione. Quindi, l'alternativa corretta è A.
90 / 139
La disequazione $$|x^2 + 3| > 2$$ è verificata:
La disequazione $$|x^2 + 3| > 2$$ è sempre verificata per ogni valore di $$x$$, poiché l'espressione all'interno del valore assoluto è sempre maggiore di 2. Quindi l'alternativa corretta è A.
91 / 139
La disequazione $$|x + 4| > 3$$ è verificata:
Per la disequazione $$|x + 4| > 3$$, otteniamo che la soluzione è $$x > 1$$ o $$x < -7$$. Quindi, l'alternativa corretta è C.
92 / 139
La disequazione $$|x - 5| > 4$$ è verificata:
Per la disequazione $$|x - 5| > 4$$, troviamo che è verificata per ogni $$x \neq 5$$. Quindi, l'alternativa corretta è B.
93 / 139
La disequazione $$|x^2 - 2x| \geq 1$$ è verificata:
La disequazione $$|x^2 - 2x| \geq 1$$ è verificata solo per $$x = 0$$. Quindi, l'alternativa corretta è D.
94 / 139
La disequazione $$|x^2 + 5| > 6$$ è verificata:
La disequazione $$|x^2 + 5| > 6$$ è sempre verificata per ogni $$x$$ diverso da zero. Quindi, l'alternativa corretta è A.
95 / 139
Per quali valori di $$a$$ e $$b$$ è verificata la disequazione $$a \cdot b - 3 < 0$$?
Per risolvere la disequazione $$a \cdot b - 3 < 0$$, dobbiamo trovare i valori per cui $$a$$ è negativo e $$b \neq 3$$. Quindi l'alternativa corretta è A.
96 / 139
Per quali valori di $$a$$ e $$b$$ è verificata la disequazione $$a \cdot b + 4 < 0$$?
Per risolvere la disequazione $$a \cdot b + 4 < 0$$, i valori corretti sono $$a < 0$$ e $$b = 4$$. Quindi l'alternativa corretta è A.
97 / 139
Per quali valori di $$a$$ e $$b$$ è verificata la disequazione $$a \cdot b - 1 < 0$$?
Per la disequazione $$a \cdot b - 1 < 0$$, otteniamo che $$a > 0$$ e $$b < 1$$. Quindi l'alternativa corretta è C.
98 / 139
Per quali valori di $$a$$ e $$b$$ è verificata la disequazione $$a \cdot b - 5 < 0$$?
Per la disequazione $$a \cdot b - 5 < 0$$, troviamo che $$a < 0$$ e $$b = 5$$ è la soluzione. Quindi l'alternativa corretta è D.
99 / 139
Per quali valori di $$a$$ e $$b$$ è verificata la disequazione $$a \cdot b + 6 < 0$$?
Per la disequazione $$a \cdot b + 6 < 0$$, otteniamo che $$a = 0$$ e $$b = 6$$ è la soluzione. Quindi l'alternativa corretta è B.
100 / 139
Per quali valori di $$x$$ è soddisfatto il sistema $$\begin{cases} x^2 + 3x - 2 < 0 \ 2 - 3x \geq 0 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} x^2 + 3x - 2 < 0 \ 2 - 3x \geq 0 \end{cases}$$, troviamo che $$-2 < x \leq 1$$ è la soluzione. Quindi l'alternativa corretta è A.
101 / 139
Per quali valori di $$x$$ è soddisfatto il sistema $$\begin{cases} x^2 + 4x - 3 < 0 \ 3 - 2x \geq 0 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} x^2 + 4x - 3 < 0 \ 3 - 2x \geq 0 \end{cases}$$, troviamo che $$x > -1$$ e $$x < 2$$ è la soluzione. Quindi l'alternativa corretta è B.
102 / 139
Per quali valori di $$x$$ è soddisfatto il sistema $$\begin{cases} x^2 + 5x - 4 < 0 \ 1 - x \geq 0 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} x^2 + 5x - 4 < 0 \ 1 - x \geq 0 \end{cases}$$, troviamo che $$-2 < x \leq 1$$ è la soluzione. Quindi l'alternativa corretta è A.
103 / 139
Per quali valori di $$x$$ è soddisfatto il sistema $$\begin{cases} x^2 + 6x - 5 < 0 \ 2 - 4x \geq 0 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} x^2 + 6x - 5 < 0 \ 2 - 4x \geq 0 \end{cases}$$, troviamo che $$x < 0$$ è la soluzione. Quindi l'alternativa corretta è C.
104 / 139
Per quali valori di $$x$$ è soddisfatto il sistema $$\begin{cases} x^2 + 2x - 1 < 0 \ 4 - 2x \geq 0 \end{cases}$$?
Per risolvere il sistema $$\begin{cases} x^2 + 2x - 1 < 0 \ 4 - 2x \geq 0 \end{cases}$$, troviamo che $$x \geq 1$$ è la soluzione. Quindi l'alternativa corretta è D.
105 / 139
Quante soluzioni ha l'equazione $$\sqrt{x^2 - 1} = 0$$?
Per l'equazione $$\sqrt{x^2 - 1} = 0$$, l'unica soluzione è $$x = 1$$ o $$x = -1$$. Quindi l'alternativa corretta è C.
106 / 139
Quante soluzioni ha l'equazione $$\sqrt{x^2 + 3} = 0$$?
Per l'equazione $$\sqrt{x^2 + 3} = 0$$, non ci sono soluzioni reali perché l'espressione all'interno della radice è sempre positiva. Quindi l'alternativa corretta è B.
107 / 139
Quante soluzioni ha l'equazione $$\sqrt{x^2 + 1} = 0$$?
Per l'equazione $$\sqrt{x^2 + 1} = 0$$, non ci sono soluzioni reali. Quindi l'alternativa corretta è C.
108 / 139
Quante soluzioni ha l'equazione $$\sqrt{x^2 - 4} = 0$$?
Per l'equazione $$\sqrt{x^2 - 4} = 0$$, l'unica soluzione è $$x = 2$$ o $$x = -2$$. Quindi l'alternativa corretta è D.
109 / 139
Quante soluzioni ha l'equazione $$\sqrt{x^2 + 5} = 0$$?
Per l'equazione $$\sqrt{x^2 + 5} = 0$$, non ci sono soluzioni reali. Quindi l'alternativa corretta è C.
110 / 139
L'equazione $$\sqrt{x - 2} - k^2 + 3k - 2 = 0$$ nell'incognita $$x$$, con $$k$$ parametro reale, ha soluzione:
Per risolvere l'equazione $$\sqrt{x - 2} - k^2 + 3k - 2 = 0$$, si trova che ha soluzione solo per valori di $$k$$ non negativi. Quindi l'alternativa corretta è A.
111 / 139
L'equazione $$\sqrt{x + 1} - k^2 + k - 3 = 0$$ nell'incognita $$x$$, con $$k$$ parametro reale, ha soluzione:
Per risolvere l'equazione $$\sqrt{x + 1} - k^2 + k - 3 = 0$$, si trova che ha soluzione per ogni valore di $$k$$. Quindi l'alternativa corretta è B.
112 / 139
L'equazione $$\sqrt{x - 3} - k^2 + 2k - 4 = 0$$ nell'incognita $$x$$, con $$k$$ parametro reale, ha soluzione:
Per risolvere l'equazione $$\sqrt{x - 3} - k^2 + 2k - 4 = 0$$, si trova che ha soluzione solo per $$k = 0$$. Quindi l'alternativa corretta è C.
113 / 139
L'equazione $$\sqrt{x - 4} - k^2 + k - 1 = 0$$ nell'incognita $$x$$, con $$k$$ parametro reale, ha soluzione:
Per risolvere l'equazione $$\sqrt{x - 4} - k^2 + k - 1 = 0$$, si trova che ha soluzione solo per $$k = 2$$. Quindi l'alternativa corretta è D.
114 / 139
L'equazione $$\sqrt{x + 2} - k^2 + 4k - 1 = 0$$ nell'incognita $$x$$, con $$k$$ parametro reale, ha soluzione:
Per risolvere l'equazione $$\sqrt{x + 2} - k^2 + 4k - 1 = 0$$, si trova che ha soluzione solo per valori di $$k$$ non negativi. Quindi l'alternativa corretta è A.
115 / 139
Quante soluzioni ha l'equazione $$\sqrt{x^2 + 4} = 2x$$?
Per l'equazione $$\sqrt{x^2 + 4} = 2x$$, troviamo che esiste una sola soluzione reale. Quindi l'alternativa corretta è B.
116 / 139
Quante soluzioni ha l'equazione $$\sqrt{x^2 + 1} = x + 3$$?
Per l'equazione $$\sqrt{x^2 + 1} = x + 3$$, otteniamo due soluzioni reali distinte. Quindi l'alternativa corretta è C.
117 / 139
Quante soluzioni ha l'equazione $$\sqrt{x^2 + 5} = 2x$$?
Per l'equazione $$\sqrt{x^2 + 5} = 2x$$, non ci sono soluzioni reali. Quindi l'alternativa corretta è A.
118 / 139
Quante soluzioni ha l'equazione $$\sqrt{x^2 + 7} = 4x$$?
Per l'equazione $$\sqrt{x^2 + 7} = 4x$$, non esistono soluzioni reali. Quindi l'alternativa corretta è D.
119 / 139
Quante soluzioni ha l'equazione $$\sqrt{x^2 + 2} = x + 1$$?
Per l'equazione $$\sqrt{x^2 + 2} = x + 1$$, troviamo due soluzioni reali distinte. Quindi l'alternativa corretta è C.
120 / 139
Quante soluzioni ha l'equazione $$\sqrt{x^2 + x + 2} = 2x$$?
Per l'equazione $$\sqrt{x^2 + x + 2} = 2x$$, troviamo che non esistono soluzioni reali. Quindi l'alternativa corretta è A.
121 / 139
Quante soluzioni ha l'equazione $$\sqrt{x^2 + 2x + 1} = x + 3$$?
Per l'equazione $$\sqrt{x^2 + 2x + 1} = x + 3$$, otteniamo una sola soluzione reale. Quindi l'alternativa corretta è B.
122 / 139
Quante soluzioni ha l'equazione $$\sqrt{x^2 + x + 3} = 3x$$?
Per l'equazione $$\sqrt{x^2 + x + 3} = 3x$$, esistono due soluzioni reali. Quindi l'alternativa corretta è D.
123 / 139
Quante soluzioni ha l'equazione $$\sqrt{x^2 + x + 4} = 4x$$?
Per l'equazione $$\sqrt{x^2 + x + 4} = 4x$$, non ci sono soluzioni reali. Quindi l'alternativa corretta è C.
124 / 139
Quante soluzioni ha l'equazione $$\sqrt{x^2 + x + 5} = x + 1$$?
Per l'equazione $$\sqrt{x^2 + x + 5} = x + 1$$, non esistono soluzioni reali. Quindi l'alternativa corretta è A.
125 / 139
L'equazione nell'incognita reale $$2|x - 4| + 3 = 8 - x$$:
Per l'equazione $$2|x - 4| + 3 = 8 - x$$, otteniamo due soluzioni di segno opposto. Quindi l'alternativa corretta è A.
126 / 139
L'equazione nell'incognita reale $$4|x - 2| + 1 = 12 - x$$:
Per l'equazione $$4|x - 2| + 1 = 12 - x$$, esiste un'unica soluzione. Quindi l'alternativa corretta è B.
127 / 139
L'equazione nell'incognita reale $$5|x - 5| + 4 = 20 - x$$:
Per l'equazione $$5|x - 5| + 4 = 20 - x$$, otteniamo due soluzioni positive. Quindi l'alternativa corretta è C.
128 / 139
L'equazione nell'incognita reale $$3|x - 1| + 2 = 15 - x$$:
Per l'equazione $$3|x - 1| + 2 = 15 - x$$, otteniamo due soluzioni di segno opposto. Quindi l'alternativa corretta è A.
129 / 139
L'equazione nell'incognita reale $$6|x - 6| + 2 = 18 - x$$:
Per l'equazione $$6|x - 6| + 2 = 18 - x$$, troviamo che ci sono soluzioni infinite. Quindi l'alternativa corretta è D.
130 / 139
L'equazione $$x^2 - 4|x| + 3 = 0$$ ha:
Per l'equazione $$x^2 - 4|x| + 3 = 0$$, troviamo due soluzioni reali. Quindi l'alternativa corretta è C.
131 / 139
L'equazione $$x^2 - 2|x| + 1 = 0$$ ha:
Per l'equazione $$x^2 - 2|x| + 1 = 0$$, otteniamo una sola soluzione reale. Quindi l'alternativa corretta è D.
132 / 139
L'equazione $$x^2 - 5|x| + 4 = 0$$ ha:
Per l'equazione $$x^2 - 5|x| + 4 = 0$$, esistono quattro soluzioni reali. Quindi l'alternativa corretta è A.
133 / 139
L'equazione $$x^2 - 6|x| + 5 = 0$$ ha:
Per l'equazione $$x^2 - 6|x| + 5 = 0$$, troviamo due soluzioni reali. Quindi l'alternativa corretta è B.
134 / 139
L'equazione $$x^2 - |x| + 2 = 0$$ ha:
Per l'equazione $$x^2 - |x| + 2 = 0$$, non esistono soluzioni reali. Quindi l'alternativa corretta è E.
135 / 139
Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, il luogo dei punti le cui coordinate (x, y) soddisfano l'equazione $$x^2 + y^2 = 4$$ è costituito da:
L'equazione $$x^2 + y^2 = 4$$ rappresenta una circonferenza. Quindi l'alternativa corretta è C.
136 / 139
Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, il luogo dei punti le cui coordinate (x, y) soddisfano l'equazione $$x^2 - y^2 = 4$$ è costituito da:
L'equazione $$x^2 - y^2 = 4$$ rappresenta un'iperbole. Quindi l'alternativa corretta è A.
137 / 139
Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, il luogo dei punti le cui coordinate (x, y) soddisfano l'equazione $$x^2 + y^2 = 1$$ è costituito da:
L'equazione $$x^2 + y^2 = 1$$ rappresenta una circonferenza. Quindi l'alternativa corretta è C.
138 / 139
Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, il luogo dei punti le cui coordinate (x, y) soddisfano l'equazione $$x^2 - y^2 = 9$$ è costituito da:
L'equazione $$x^2 - y^2 = 9$$ rappresenta un'iperbole. Quindi l'alternativa corretta è A.
139 / 139
Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, il luogo dei punti le cui coordinate (x, y) soddisfano l'equazione $$x^2 + y^2 = 9$$ è costituito da:
L'equazione $$x^2 + y^2 = 9$$ rappresenta una circonferenza. Quindi l'alternativa corretta è C.
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